Exemples. — I. Soit l'équation
x« + 4x^ — Qjc^ — 7x3 ^ 8x* — 4x — 3 - 0.
Comme elle présente trois variations, elle a trois racines positives ou une seule. Il est inutile de chercher la transformée en — jc: l'équation étant complète, on a (149) V -\- ]^ = m] donc i^' — 3 et les racines négatives sont au nombre de 3 ou 1.
U. X** — 4x^ — tx^ + 2x + 1 -= 0.
Dans cette équation incomplète, v = 2, i/* = 2, d'où /? ^ 2, /z ^ 2 ; par suite l'équation a au moins quatre racines imaginaires.
Remarque. — Dans les équations incomplètes, on a généralement v + v' < m^ et qui entraine l'existence d'au moins m — {v -\- v') racines imaginaires.
Symptômes d'imaqinarité.
152. Règle de Sturm. - (Genève 1803-Paris 1857). Si la multiplication de F(x) pcw X ~ a, a étant positif, introduit 2k 4- 1 variations, Inéquation F(x) = a au moins 2 k racines imaginaires.
Soient: v le nombre des variations de F{jic); v' celui de F ( - a?) ; /? le nombre des racines positives de F (x*) ; n celui des racines négatives ; enfin, m le degré de F (x).
Posons {x - a) F [x) ■:£ q? (./•). L'équation (p (x) = 2i p + 1 radnes
positives, n radnes négatives, v + 2k ■}- \ variations ; donc <P {- x) a, au plus, {m + \) - (v + 2k -\- 1) variations: ainsi
Il en résulte
n -\- p ^ m — 2k] le nombre des racines imaginaires est donc au moins égal à 2k,
Remarque. - Semblablement, si la multiplication de F (x) par x + ^i fait perdre 2k variations (*), Péquaiion F (x) =0 a, au moins^ 2k racines imaginaires.
En effet, l'équation (x H- a) F (jr) = a /; radnes positives, n -f 1 radnes négatives, v -2k variations. On en conclut
p ^ V — 2k] et comme n ^ v\
p + n <^v fi/ — 2*.
D'ailleurs, v -\- v' <C^ m; donc à plus forte raison
Donc l'équation F (or) = a au moins 2k racines imaginaires.
153. Théorème. - Le nombre des racines imaginaires d^ une équation incomplète est au moins égal à la somme des nombres de racines imaginaires de toutes les équations binômes qu*on obtient en égalant à zéro chaque groupe de deux termes consécutifs de C équation proposée.
Considérons l'équation ordonnée {m > p > q,„)
Ax"^ + BxP 4- Cx^ f- ... + Hx"^ + K;c" + L = 0. (1)
Soient v^^ v^, . . l'j, les nombres des variations des groupes
Aa:"^ + Bx\ Bx»' i- Cjc^, . . , Kx« + L, (2)
et v'^, v\f ..., v\ ces nombres quand on change .^ en - x; ces nombres sont égaux à 1 ou à 0. On a
v+V = ( i', + r, + ... + Kh ) + (V, + 1/-, + ... + i/h ).
(•) Les nombres des variations de F (x) et (x f a) F (x) sont de même parité, parce que les derniers termes de ces polynômes ont le même signe.
D'autre part, l'équation A^™ + RrP = ayant p radnes nulles, v^
racines positives (*) et v\ racines négatives, 2im-p-{y^-\-v'^ racines
imaginaires; de même, les autres équations obtenues en égalant à zéro les binômes (2) ont respectivement
p — q—iy^-^- l/g), ... S — (i'h + l^h ) racines imaginaires. Le nombre total de ces racines est donc
Mais l'équation F (.i?) = 0, ayant au plus v -{- v* racines réelles, a au moins m - {y -\- v') racines imaginaires. Le théorème est donc démontré.
154. Théorème des lacunes. - 5'// manque an terme entre deux termes de même signe, ou sUl manque plus d'un terme entre deux termes de signes quelconques, l'équation a nécessairement des racines imaginaires.
Soit l'équation
Ax^+ ... + Ox«+^ + Hx» + ... =-- 0. (1)
où O et H ont le même signe. L'équation Qx^ -f H = ayant deux radnes imaginaires, l'équation (1) en a au moins deux (153). Soit encore l'équation
Ax^ + ... + Qx«+P + Hx° + ... - 0, où ;; > 2. (2)
Si ;? = 2^ -h 1, l'équation Ga?P -f H = a une seule racine réelle et, par suite, 2q racines imaginaires ; donc l'équation (2) a au moins 2q racines imaginaires. Si p — 2q, on voit, de la même manière, que l'équation (2) a, au moins, 2q ou 2^-2 radnes imaginaires, suivant que O et H sont de même signe ou de signes contraires.
155. Théorème de De Gua (Carcasonne 1719 - Paris 1785). - Quand une équation a toutes ses racines réelles, le carré d*un coefficient quelconque surpasse le produit des deux coefficients voisins.
Considérons quatre termes consécutifs de l'équation F (x) = :
ApX«"-P + Ap+ixm-p-i + Ap-H2JC"-P-2 + Ap^3jc™-P-3. Trois termes consécutifs du produit f(x) (x - a) sont
Ap+1
je"--? + Ap+2
xm-p-x ^ Ap+3
— aAp
— aAp+,
ûAp4.2
Si l'on choisit a de manière à faire disparaître le terme en x^-v-\, les coefficients de x^-v et de j7tn-p-2 seront
A*p-t-i — ApAp.f2 Ap-2 — Ap-t-|Ap^-3
Ap+1 ' Ap-i-1
(•) Une seule racine positive si l'i = 1, et pas de racines positive si l'i = 0.
Toutes les racines de F{x) = étant réelles, les coefficients de x^^-p et de a7n»-p-2 doivent être de signes contraires si le terme intermédiaire manque (154); donc les binômes
AVi — ApAp^2, AV2 — Ap+iAp-f3 (1)
et tous ceux de la même forme ont un signe commun. Or, les trois premiers termes du produit F(jc) (x-a) sont
AaX"+' + A,
— aAo
;f"-f Ag — aAi
si l'on pose A^ - aA^ == 0, les coefficients voisins deviennent
Al AqAj
comme ils sont de signes contraires (on suppose A^ > 0), le binôme AJ - A^jAg est positif, et il en est de même des binômes (1). On conclut de là
Al > AyA^, As > Al A3, ... Ap-j-i ,> ApAp-|-2;
Remarque. - La réciproque du théorème de De Qua n'est pas exacte : l'équation A^^.r^ -j- A^x -\- A^ = 0, par exemple, a des racines
imaginaires si Aj > A0A2 et <. 4A0A2.
156. Corollaires. - I. 5/ le carré d'un coefficient est ^al ou inférieur au produit des deux coefficients voisins, l'équation a des racines imaginaires.
En particulier, une équation a des racines imaginaires : Jo si trois coefficients consécutifs sont en progression par quotient ; 2^ si deux coefficients ^ux sont séparés par un coefficient ayant une valeur absolue égale ou inférieure.
II. Si quatre coefficients consécutifs Ap, Ap-|-i, Ap-1-2, Ap+a vérifient la relation
(Ap+, Ap+2 - ApAp+3)^ - 4(A*+., - ApAp4.2) (Ai^2 - Ap^, Ap f 3)^0.
V équation a des racines imaginaires.
Appliquons le corollaire précédent à l'équation F(.x) (pc — a) = 0, a désignant un nombre réel. Trois coefficients consécutifs étant
Ap-i 1 — flAp. Api-2 — flAp4 i , Ap-^3 — flAp^2,
l'équation a des racines imaginaires si le carré du coefficient moyen est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire si l'équation
(Ap+2 — aAp4-i)* — (Ap i — aAp) (Ap4 3 — ûAp+i) = 0. (1)
est vérifiée par une valeur réelle de a. En exprimant cette condition on trouve le critérium énoncé ci-dessus.
La valeur de a peut être 1 ; on a alors
(Ap 1-2 — Ap^,)'^ = (Ap+1 — Ap) ( Ap 1.3 — Ap+2). (2)
La. relation (2) est vérifiée si
Ap4-2 — Ap^i = Ap^>i — Ap = Ap-i-3 — Ap4.2;
donc, une équation a des racines imaginaires si quatre coefficients consécutifs sont en progression arithmétique.
Exercices et notes.
1. Soient x^, x^, ... x^ des nombres réels quelconques, et Sp la somme de leurs produits p ^ p. Démontrer que (165)
2. Le nombre des racines de F(a?) = qui sont supérieures à un nombre donné a, ne peut surpasser le nombre des variations de la suite
m étant le degré de f(x) ; quand il est moindre, la différence est paire. Appliquer le théorème de Descartes à l'équation F{a -f j;) = 0.
3. Si toutes les racines de f(x) = sont réelles, le nombre des racines comprises entre a et ^ est égal à l'excès du nombre des variations de la suite
F(û), f\a), r\a), ..., F(»)(fl)
sur celui des variations de la suite
f{b), F{b), F'ib), ..., F(""(6).
Appliquer la proposition (149) aux équations F(a H-j) = 0, F(b-\-y) = 0,
4. Le nombre des racines de F(jc) = qui sont comprises entre a et b,
est au plus égal au nombre des variations de l'équation F ( ^ . J =
ordonnée par rapport à y.
X — a On cherche la transformée qui correspond k y = -j—^ — » et l'on ap)-
plique le théorème de Descartes.
5. Si <p (x) est une fonction entière au plus de degré /n - 3, ou une fonction entière de degré /n - 2 et commençant par un terme positif,
l'équation (x - a)^ + (p (a?) = a des racines imaginaires.
6. Pour obtenir un symptôme d'imaginarité, on exprime que deux termes consécutifs du produit F(^') (x"^ -\- px -\- q) disparaissent et que les valeurs correspondantes de p, q vérifient la relation p^ - ^q'^ 0. On retrouve ainsi le théorème (166, 2o).
Si le multiplicateur est iz?* - 1, ^* - a? - 1, a?* + 2û? + 1, on voit que l'équation F(a7) == a des racines imaginaires quand quatre coefficients consécutifs sont
7. Si cinq coefficients consécutifs A, B, C, D, E sont tels, que
