BD > 0, (BC - AD) (CD - BE

l'équation a des racines imaginaires.

Le produit F{x) (jc* - y*) présente alors une lacune favorable.

8. Soient F{x) — une équation algébrique de degré m, a un nombre positif quelconque, et (116, 117)

^^""^ - BoJc-- + B,x-- + . . . + B,. + -^ . (1)

Le nombre des racines de F(ji:) = qui sont plus grandes que a, est au plus égal au nombre des variations de la suite

Bo, B„ Bg, ..., Bm-i, Bmi (2)

quand il est moindre, la différence est paire.

Cette proposition peut être démentrée comme le théorème de Descartes. Le produit du second membre de (1) par (jc - b) est

B„Jf» -f B,

A, ... -|- Um— 1

— *Bm i

ou CoX" + Q^-' + . .. + C„ + ^ï!±2- • U suite

^0» ^1; ^2f ••• ; ^^-m» ^in-|-1

présente un nombre impair de variations de plus que la suite (2). Q. Si toutes les racines de l'équation F(x) = sont réelles, l'équation

[FP^x)]^ ^ pp-^)(x)FCP+^)(x) =

n'a que des racines imaginaires.

En effet, toutes les racines de F(a -i- y) = étant réelles, il n'existe pas de valeur réelle de a telle, que le carré de l'un des coefficients de cette équation soit égal au carré du produit des coefficients voisins.