RECHERCHE DES RACINES COMMENSURABLES
Conditions auxquelles satisfait une racine entière.
157. Théorème. — Pour qu'un nombre entier soit racine (Tune équation à coefficients entiers^ il faut et il suffit : quHl divise le dernier terme ; qu'il divise le quotient de cette
division augmenté du œefficient dex ; qu'il divise le quotient de la seconde division augmenté du coefficient de xS et ainsi de suite; enfin que le quotient de la me division augmenté du coefficient de x*" donne pour somme zéro.
Si rentier a est racine de Téquation à coefficients entiers
F (X) = Aoxm + A.xm-* ^- ,.^ Arn-^X + A™ = 0, (1)
le quotient de la division de F (x) par x — a est un polynôme à coefficients entiers, que nous représentons par
f{x) = Box™-^ f B, x^-- + . . . 4 Bn,,x + B„,,.
En identifiant F (x) avec le produit {x-a)f{x) on obtient
Bo — Ao, B, — Boû = A„ B2 — Bj fl = A2,
Tirons de là les valeurs de — Bm i, — Bm,,... en remontant la suite de ces égalités ; il vient
p A|p Q Pm— 1 1 Am i
p Pm— > H~ Am g Q P, -|- A]
De plus, — Bo 4 Ao = 0. Ces relations démontrent le thérorème.
Recherche des racines entières.
158. Pour déterminer les racines entières de F(x) = 0, on cherche une limite supérieure L des racines positives, et une limite supérieure L' des racines positives de la transformée en — x; puis on forme tous les diviseurs du dernier terme de F (x), compris entre — L' et L On rejette ceux de ces diviseurs qui ne satisfont pas à toutes les conditions indiquées ci-dessus. L'exemple suivant montre suffisamment la marche à suivre.
Application. - 4x* — x« — Sôx^ -\- 57x + 36 = 0. (1) Ecrivons
et observons que le trinôme 4x* — x — 56 reste positif à
partir de sa plus grande racine qui est -g- ( 1 + 1897 ), ce
conduit à poser L = 4. La règle de Lagrange, appliquée à la transformée en — x, donne L' -- 5.
Les diviseurs de 36 compris entre — 5 et 4 sont
On voit facilement que 1 et — 1 sont à exclure. Pour essayer les autres diviseurs, nous adoptons la disposition suivante :
On écrit sur la première ligne les coeffients de Téquation. Pour essayer le diviseur 3, on divise 36 par 3 et Ton écrit le quotient 12 sous le nombre 36; on ajoute ce quotient au nombre placé à gauche dans la première ligne, on divise la somme par 3 et Ton écrit le quotient sous le nombre 57; et ainsi de suite. Comme on obtient ainsi des nombres entiers et finalement zéro, 3 est racine et les coefficients du quotient du premier membre de Téquation divisé par x— 3 sont les nombres {b) changés de signe. Les essais suivants se feront maintenant avec les nombres (b). Il faut d'abord examiner si 3 n'est pas racine multiple ; la troisième division donnant un quotient fractionnaire, on passe à un autre diviseur. Une seconde racine est — 4; les nombres correspondants (c) sont les coefficients du quotient du polynôme (1) divisé par (jc — 3) (x + 4). L'équation proposée est donc
(X— 3) (x + 4) (4x« — 5a: — 3) = 0; ellea deux racines incommensurables, égales à -ô-( 5 i: )/73 ).
159. Règle d'exclusion. On réduit quelquefois le nombre des essais à faire, en s'appuyant sur le principe suivant:
Si a est racine entière (Tune équation F (x) =- 0, d œefficients entiers, 2i — 1 divise F (1) ^/ a + 1 divise F ( — ).
En effet, si a est racine, on a
F(x) == (x-a)f{xl
f{x) étant un polynôme à coefficients entiers; par suite,
en sorte que F (1) est divisible par 1 ^ a, et F( — 1) par 1 + a.
On calculera donc F (1) et F(— 1), et Ton exclura les diviseurs du dernier terme de F (x) qui, diminués de 1, ne divisent pas F (1), ou qui, augmentés de 1, ne divisent pas F (— 1).
Exemple. F (jc) = jc^ — Ux^ — 45 a: + 12600 == 0.
On trouvera L = 45, U = 17. Les diviseurs de 12600 compris entre — 17 et 45 sont
La substitution de -f 1 et de — 1 dans F (x) donne
La règle d'exclusion écarte les diviseurs autres que
En appliquant à ceux-ci la méthode du § 158, on trouve
Recherche des racines fractionnaires.
1 60. Théorème. — Si la fraction irréductible t- est racine de V équation à coefficients entiers
AoX™ + AiX"-^ + ... + Am-, x+ Am - 0,
le numérateur a divise A^, le dénominateur b divise Aq.
Remplaçons x par -r- et chassons ensuite les dénominateurs; il vient
Aoû"^ + Aiû™-^* + ... 4 km~Aab^-' + kj)"^ - ;
d'oii Aoa™= — b(A,a"'-' + A,a»"-2A + ... + A„6"-0, A„*™ û[(Aoa™-^ + A,a"-2* + ... + Am, ô»"-»).
On voit que b divise Aoû" et que a divise kjf\ donc, puisque a et * sont premiers entre eux, b est diviseur de Ao, et a diviseur de A^.
161. Corollaire. — Une équation à coefficients entiers ^ dans laquelle le coefficient du premier terme est Vunité, n^a aucune racine fractionnaire.
Car le dénominateur d'une telle racine doit diviser Ao, qui est supposé égal à 1.
162. Remarque. — On peut toujours ramener la recherche des racines fractionnaires à celles des racines entières.
Soit F (x) =- une équation à coefficients entiers. Si le premier coefficient est égal à l'unité, l'équation n'a aucune racine fractionnaire (161). Si ce coefficient est différent de l'unité, on transforme l'équation en une autre dont le premier coefficient est l'unité, en multipliant les racines par un nombre convenablement choisi k. Il suffit de chercher les racines entières de la nouvelle équation et de les diviser par k pour avoir toutes les racines commensurables de F (jc) - 0.
Exemple. — \2x^ — 8x-* — 2^ + 5x + 6 = 0. (1)
On trouve facilement (142) L = 2, L' = 2. Les seuls nombres entiers qui puissent être racines sont donc + 1 et — 1. Comme F(l) -=- — 6, F( — 1) = 0, nous divisons F(x) par X + 1, ce qui nous conduit à résoudre l'équation
Celle-ci n'admettant plus la racine x = — 1, nous la transformons en une autre ayant pour premier coefficient l'unité. En multipliant les racines par 6, on trouve
x^ __ iO;c2 3x + 108 - 0.
La règle énoncée ci- dessus (158) donne pour racines
12 3 — 3, 4, 9; les racines de (1) sont donc — 1, — -x, -tz^ -x-
Exercices et notes.
