AA' + BB' - C(A'P 4 B'Q

et A'P + B'Q est une fonction entière de jc.

Un polynôme entier en x est dit premier quand il n'est divisible que par lui-même (multiplié par un facteur numérique si Ton veut) ou par des facteurs indépendants de x. Si l'on admet le théorème de D'Alembert, les seuls polynômes premiers sont ceux du premier degré. La théorie de la divisibilité algébrique, telle que nous l'exposons ici, est indépendante de ce théorème.

Deux fonctions entières de x sont dites premières entre elles quand elles n'ont aucun diviseur commun en x.

164. Règle da plas grand comman diviseur. — On appelle plus grand commun diviseur (p. g. c. d.) de deux polynômes entiers en x, le polynôme entier de degré le plus élevé qui divise à la fois ces deux polynômes.

Soient A et B deux fonctions entières de oc, de degrés m et n respectivement; nous supposons m supérieur ou égal à n.

Si B divise A, B est le plus grand commun diviseur de A et B. En effet, il n'existe pas de polynôme de degré supérieur à /?, divisant à la fois A et B, et tout polynôme B' de degré n qui divise à la fois A et B ne diffère de B que par un facteur constant, le quotient de B par B' étant indépendant de x.

Si B ne divise pas exactement A, soient Q le quotient et Ri le reste de la division de A par B, de sorte que

A - BQ -h R,.

A et B ont les mêmes diviseurs communs que B et Ri ; car tout polynôme qui divise A et B divise A — BQ ou R,, et tout diviseur de B et de R, divise BQ + R, ou A.

R, étant de degré moindre que B, divisons B par Ri ; soit R* le reste. Si R; contient oc, cherchons le reste Rj de la division

de R, par Rj, puis le reste R^ de la division de R^ par R3, et ainsi de suite. Les degrés des restes successifs allant en diminuant, on arrive à un reste Rp indépendant de x.

Il peut se présenter deux cas :

lo Rp - 0. A et B, d'après ce qu'on a vu, ont les mêmes diviseurs communs que B et Ri ; ceux-ci, pour la même raison, ont les mêmes diviseurs que R, et Rg ; et ainsi de suite. Les diviseurs communs de A et de B sont donc les mêmes que ceux de Rp 2 et de Rp,. Mais Rp i est le polynôme de degré le plus élevé qui divise à la fois Rp j et Rp i ; c'est donc aussi le p. g. c. d. de A et B.

2o Rp n'est pas nul. Tout diviseur de A et de B doit diviser Rp i et Rp ; Rp, et Rp n'ayant pas de diviseur commun en X, les polynômes A et B sont premiers entre eux.

On conclut de cette théorie la règle suivante :

Etant donnés deux polynômes A et B, on divise A par B, B par le reste Ri de cette division, R, par le reste Rj de la deuxième division, et ainsi de suite. Jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul ou à un reste indépendant de x. Dcms te premier cas, k et ^ admettent un p. g, c, d, qui est le diviseur employé dans la dernière division ; dans le second cas, A et B sont premiers entre eux.

Voici des remarques qui simplifient les calculs:

lo Pour éviter les coefficients fractionnaires, si le premier terme d'un dividende partiel n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, on peut multiplier tous les coefficients de ce dividende par un nombre convenablement choisi.

2o Si tous les coefficients d'un diviseur sont divisibles par un même nombre, on peut les diviser par ce nombre.

En effet, A et B ont les mêmes diviseurs communs que deux restes consécutifs Rk et Rkfi, ou les mêmes que aRkCt

Rk-Hi ou que Rk et —y-!, pourvu que a et /^ soient indépendants de X,