A = A'D - A"DD', B = B'D -^ B"DD
A" et B" étant des fonctions entières, A et B auraient un diviseur commun DD', d'un degré plus élevé que D.
2o Quand on multiplie ou divise deux polynômes k et B par un même polynôme C, leur p. g, c, d, est multiplié ou divisé par C.
Soient Q le quotient et R le reste de la division de A par B ; nous aurons A == BQ + R, et en multipliant par C :
AC = BC . Q + RC
RC est d'un degré inférieur à celui de BC ; donc, si l'on multiplie deux polynômes par un même troisième, le
(•) On multiplie le premier dividende et le dividende de la seconde division par 3 ; le reste est divisé par - 35. Le quotient de cette division n'est pas X - 1, mais -^ x - ■^'
NEUBERO. - Algèbre.
quotient de leur division ne change pas et le reste est multiplié par le troisième polynôme.
Cela posé, soit
la suite des polynômes que Ton rencontre dans la recherche du p. g. c. d. de A et B. Le p. g., c. d. de AC et BC conduit à la suite
/\v-#, Dv^, r\|V-», i\2V^; ••• ; *^p *^; Kp^iv-».
Par hypothèse, Rp, est divisible par Rp i ; donc Rp«C est divisible par Rp-iC Par conséquent, Rp__iC est le p. g. c. d. de AC et BC; il est égal au produit par C du p. g. c. d. de A et B.
La démonstration est analogue quand on divise A et B par un facteur commun C.
30 Tout polynôme qui divise A et B, divise leur p, g, c. d. Car les diviseurs de A et de B divisent les restes Ri, R*, ...
167. Théorème. — Si un polynôme entier C divise le produit de deux polynômes entiers k et ^ et s^il est premier avec Pun des facteurs ^ il divise P autre facteur.
Soit A, C, Ri, Rj, . . . , Rp—i, Rp
la suite des polynômes que Ton rencontre dans la recherche du p. g. c. d. de A et C. A et C étant premiers entre eux, le dernier reste Rp est indépendant de x et différent de zéro.
Si Ton applique le procédé du p. g. c. d. aux produits AB, CB, on obtient la suite
AB, CB, RiB, RoB, ..., Rp iB, RpB.
On en conclut que le p. g. c. d. de AB et CB est RpB, ou simplement B : car Rp,B est divisible par RpB. Mais C divise, par hypothèse, AB ; il divise aussi CB ; donc il divise également leur p. g. c. d. B.
168. Théorème. — Si une fonction première divise un produit de plusieurs fonctions entières, elle divise nécessairement l'un des facteurs.
169. Théorème. — Tout polynôme entier en x n^est déœmposable qu'un seul produit de polynômes premiers.
Corollaire. — I. Pour qiiun polynôme entier en x soit divisible par un autre polynôme entier en x, il faut et il suffit qu'il contienne tous les facteurs premiers de cet autre, chacun au moins le même nombre de fois.
II. Le p. g, c, d, de deux fonctions entières de x est égal au produit de leurs facteurs premiers communs, chacun de ces facteurs étant pris avec le plus petit exposant qu'il porte dans l'une ou V autre fonction,
La démonstration des dernières propositions se fait comme celles des propositions analogues en arithmétique.
170. Théorème. — Si Von désigne par Ri, R2, ... , Rk..-f les restes successifs obtenus dans la recherche du p, g. c. d. de deux polynômes A et B, de degrés m etn respectivement^ on a
R. = AU + BV„
Uk et Vk désignant des polynômes entiers en x dont les degrés sont respectivement égaux an — n^-i, m — nk i, 5/ ni désigne le degré de Ri.
En effet, on a identiquement
A = BQ + Ri, B = RiQi + R^, R^ = R^Q. + R3, ... , Kk s = Kic iWk i "T Kk, etc.
La première de ces identités donne
R, ^ A - BQ = AU| + BV„
après avoir poséU, -- 1, Vj = — Q. Le degré de Ui est égal 2i n — n, celui de Vi à m — /i. On a ensuite
R, ^ B - RiQi B - (A - BQ)Qi -^ AU, + BV„
où U2 = — Qi, Vg = 1 + QQj. Le degré de Uj est égal à n — /^i, celui de Vg à (m — /i) + (/z — /2,) = m — /î,.
La loi se vérifie donc pour R, (*) et Rg. Supposons-la établie pour tous les restes qui précèdent R^, de sorte que
Rk-. = AUk-, + BVk., Rk i - AUk-. + BVk-i, (1)
(•) B remplace R^, et n^ = n.
Uk î et Vk ï étant de degrés m — /z^^, n — /ik s, et Uk-i, Vit i de degrés m — /z^-^, n — /z^... Si Ton porte les valeurs (1) dans la relation
Rk-» =- Rk-iQk-i + Rkf on obtient
Rk - A(Uk-. - Uk-iQk-i) + B(Vk^, - Vk^.Qk-i) = AUk + BVk,
où Uk - Uk-« — Uk-.Qk-i, Vk = Vk, — Vk iQk-i.
Comme /ik-2 > /Zk-i, Uk-2 est de degré moindre que Uk-i, et le degré de Uk est celui de Uk-iQk-i ou égal à
{m — /Zk-2) + (/Zk-2 — /Zk-i) ^^ m — /Zk-1.
De même le degré de Vk est celui de Vk-iQk-i ou n — /Zk-i. La loi est donc générale.
171. Corollaires. — I. Si A et B sont premiers entre eux, on arrive à un reste numérique Rp. Le théorème précédent donne
Rp - AUp + BVp ou 1 = AU + BV.
U V U et V désignent 5^ » 5^ • Par conséquent :
Kp Kp
Quand deux fonctions entières A et B, de degrés m et n respectivement, sont premières entre elles, U existe deux fonctions entières \J, W de degrés respectivement inférieurs à n et m, et telles, que Von ait identiquement
I =-- AU + BV.
Les fonctions U, V sont uniques ; car si Ton avait
1 =. AU' + AV, on aurait
par suite A qui est premier avec B, devrait diviser le polynôme V — V dont le degré est inférieur à celui de A.
II. Si A et B ont un p. g. c. d. Rp-i, de degré q, le reste Rp étant nul, on a l'identité
= AUp+BV
PI
dans laquelle UpCt Vp sont des fonctions entières, de degrés n — q ti m — q. Cette propriété se déduit aussi des égalités
A = A'Rp-,, B = B'Rp,
par l'élimination de Rp i.
Des racines communes a deux équations.
1 72. Théorème. — Soient F (x) = 0, f (x) = 0, deux équations à coefficients numériques. Si les polynômes F (x), f (x) ont un p. g, c. d. (p (x), V équation ç? (x) = a pour racines les racines communes aux équations proposées.
En effet, on a
F (AT) = Ç. (X) F, (AT), f(x) i^ <p (x)f, (x\
où Fi (x) et /i (x) désignent des fonctions entières, premières entre elles. Toute racine de <p(x) est racine A^f(x) et de f(x)\ réciproquement, si a est m fois racine de f(x) et n fois racine de/(x-) et que m^n, {x—af divise f{x) et /(x), et par suite est diviseur de (p(x).
Application. — Résoudre Téquation
x-4 - 4^3 + 4^2 - 4jr + 3 = 0, (1)
sachant que Tune des racines est triple d'une autre.
Soient 3a et a ces racines; 3a est aussi racine de Téquation qu'on obtient en multipliant par 3 les racines de (1). Cette transformée est
Les premiers membres de (1) et (2) ayant pour p. g. c. d. X-— 3, ona3a-=3, fl=l. Divisant ensuite le premier membre de (1) par le produit (x- — 3) (jt— 1) et égalant à zéro le quotient r*+l, on voit que l'équation proposée a pour racines
