Résultant de deux polynômes (*). — Soient

f(x) = AoJr"» + k,x^ - ^ + ... + A^, /(Ar) = BoX°+ BiJf"-^ +...+ B„.

(•) Dans cette partie du Cours, nous supposons connu le théorème (1 18). La méthode exposée ici est due à Euler.

Uk î et Vk 8 étant de degrés m — n^^^ n — riy,^, et Uk„ Vk i de degrés m — /ik 4, n — n^^.. Si l'on porte les valeurs (1) dans la relation

Rk-» =^ Rk iQk i + Rki on obtient

Rk -= A(Uk-, - Uu-iQk-i) + B(Vk-, - Vk^xQk-,) = AUk + BVk,

où Uk - Uk-* — Uk-iQk-i, Vk = Vk-a — Vk iQk-i.

Comme /ik-2 >• /^k-i, Uk-a est de degré moindre que Uk-i, et le degré de Uk est celui de Uk-iQk-i ou égal à

(m — /2k-2) + (/îk-2 — /ik-i) ^ m — /ik-1.

De même le degré de Vk est celui deVk-iQk-i ou n — /Zk-i. La loi est donc générale.

171. Corollaires. — I. Si A et B sont premiers entre eux, on arrive à un reste numérique Rp. Le théorème précédent donne

Rp - AUp + BVp ou 1 = AU + BV.

U V U et V désignent 5^ » ô^ • Par conséquent :

Kp Kp

Quand deux fonctions entières A et B, de degrés m et n respectivement, sont premières entre elles, il existe deux fonctions entières U, V de degrés respectivement inférieurs fl n et m, et telles, que Von ait identiquement