I - AU + BV

Les fonctions U, V sont uniques ; car si Ton avait

1 = AU' + AV, on aurait

par suite A qui est premier avec B, devrait diviser le polynôme V — V dont le degré est inférieur à celui de A.

II. Si A et B ont un p. g. c. d. Rp-i , de degré q, le reste Rp étant nul, on a l'identité

O = AUp + BVp,

dans laquelle Up et Vp sont des fonctions entières, de degrés n — ç et m — ç. Cette propriété se déduit aussi des égalités

A^A'Rp-,, B = B'Rp-,

par l'élimination de Rp-i.

Des racines communes a deux équations.

1 72. Théorème. — Soient F (x) = 0, f (x) = 0, deux équations à coefficients numériques. Si les polynômes F (x), f (x) ont un p, g, r. d. q> (x), P équation q> (x) -= a pour racines les racines communes aux équations proposées.

En effet, on a

f(x)^<p (X) F, (AT), f(x) E^ q> (x)f, (x\

où Fi (x) et /i (x) désignent des fonctions entières, premières entre elles. Toute racine de (p{x) est racine de F(jr) et de f(x)\ réciproquement, si a est m fois racine de f(x) et n fois racine Atf(x) et que m'^n, {x — af divise f{x) et f(x\ et par suite est diviseur de (p{x).

Application. — Résoudre Téquation