Résultant de deux polynômes (*). — Soient

f(x) = A^x"^ + A,x^ - ^ + ... + A^, /{x)^Box''+B,x^-' +...+ B,.

(•) Dans cette partie du Cours, nous supposons connu le théorème (1 18). La méthode exposée ici est due à Euler.

deux polynômes à coefficients indéterminés. Pour qu'ils aient au moins un facteur linéaire commun, une certaine fonction de leurs coefficients doit être nulle ; cette fonction est appelée le résultant ou V éliminant des polynômes F(x) et /(x).

Si (p{x) est le produit de p facteurs linéaires communs à F(x) et à /(x), on peut poser

f(x)~<p(x)f,{x), f(x) = cp(x)Mx\ (1)

Fi(x) et/i(a:) étant des fonctions entières de degrés m—p et n—p. De ces égalités, on tire \ identité

r{x)/,ix)-f{x)r,{x)=o. (2)

Réciproquement, lorsqu'il existe deux polynômes F,(a;) et fiix), de degrés m — p et n —p, qui rendent identiquement nulle l'expression

rix)f,(x)-/{x)r,(x) (3)

?(x) et /(a;) ont un p. g. c. d. qui est au moins de degré/?. Car F(x) divise le produit /(Jc)F,(a:), et au plus m—p facteurs linéaires de F{x) appartiennent aussi à F,(a;); donc F(x) ttj[x) ont au moins p facteurs linéaires communs.

S'il n'existe qu'un seul système de polynômes F^ix) et/,(jr)^ de degrés m—p et n—p, qui rendent identiquement nulle l'expression (3), le p. g. c d. de F(x) et fix) est de degré p. En effet, s'il était d'un degré supérieur à p, F(x) ttj\x) auraient plusieurs communs diviseurs de degré/;, et les égalités (1) et (2) auraient lieu de plus d'une manière.

Pour fixer les idées, supposons m = 5, /z -= 3, de sorte que

F(x) = Ao^f--' H ■ A,x' f A^r^ + A,x^\- A4X+ A,, f{x) -: BoX« + B,x2 + BoX + B^.

Si F{x) et/(x) ont une seule racine commune, il existe un seul système de deux polynômes du 4e et du 2e degré,

Fi {x) ^ — a^x* — a^x^ — a.^x^ — a^x — a.,

tels, que l'on ait identiquement

Or,

xF(x)

x^fix) x/{x)

= AoX' + A,x« + A^x^ + A^x* + A^x" + A^x»,

= AoX" + A,x= + AjX^ + AaX» + A,x« + A5X,

BoX« + B,x^ + B,x* + B3X»,

BoX> 4- B,x* + B.x' + B,x\

B„x* + B.jr' + B,x^ + B3X, = B„x=' + B,x* + B,x+B,.

Ajoutons ces égalités, respectivement multipliées par

Pu Pi, fia, «I, «2> «31 «4, «5 ; (5)

le premier membre étant F(x)/i(x) — /(x)F,(x), le second doit être identiquement nul, d'où les équations de condition

KPi + A„i8>