BA + A,/Î
+ BjO, + B,aj + BoOg = 0,
-f BsC, + BjOg + B.a, 4- BoO^ - - 0,
+ BsOj + Bja3 + BjO^ + B^as = 0,
+ Bso, = 0.
Ce système comprend huit équations homogènes par rapport aux huit inconnues (5). Par hypothèse, celles-ci ou plutôt leurs rapports ont des valeurs déterminées. Donc (78) le déterminant de ce système doit être nul. Ce déterminant, transposé est
JKq Aj Aj Ag A^ Aj Afl Al Aj A3 A^ Aj
Afl Aj Aj A3 A4 Aj
Bo Bj Bj B3 B„ Bx Bj B3 Bo Bi Bj B3 Bo Bi B2 B3 Bo B, Bj B3
la place des éléments nuls a été laissée vide.
R est le résultant cherché. Dans le cas général de deux polynômes F(x), f(x) de degrés m, n, il est d'ordre /n-{-n;
les n premières lignes renferment les seuls coefficients de F (x)j les m dernières les seuls coefficients de / (x) ; le terme diagonal est AJ BS'. R s'annule lorsque Ao = 0, Bo = 0; effectivement, les équations F (x) = 0, /(x) = peuvent alors être considérées comme ayant en commun une racine infinie.
Nous supposerons Ao 7^ 0, Bq 7^ 0. Les inconnues (5) sont proportionnelles aux mineurs relatifs aux éléments d'une même colonne de R ; car si A^^ A^^ ... A^ sont ces mineurs, la somme des produits des éléments d'une colonne quelconque de R respectivement multipliés par ^1, A^, ... A^ est nulle, et les égalités ainsi obtenues ne diffèrent des équations (6) que par le changement de ^1, /Sg, . . en A^^ J,, ....
Faisons correspondre Ji, A^^ ... aux éléments de la dernière colonne de R; alors
oii l'on a posé
Ri
Aq Aj A2 A3 A4 A5 Aq A^ Ao A3 A4 Bo Bl B2 Bg
Bo Bi Bj B3 Bo Bi B2 B3 Bo Bi Bg
comme Pi: a^ = J^ : A^ et que F (x), / (x) ont un seul facteur linéaire commun, on a nécessairement Ri 7^ 0.
174. Cas de deux racines communes. — Dans l'expression (3), on peut maintenant prendre pour Fi (x), f^ (x) des polynômes de degrés m — 2^ n — 2. Dans le cas particulier de /w -= 5, /z =- 3, on obtient les équations de condition en faisant, dans les égalités (6), a^ =-0, Px = 0- O" aura ainsi le système
Ao^2 H" Bo^î = ^f
AiiSe + Ao^3 + Bia^ + Boa3 = 0,
k,P, + AiiSg H- B^a, -f- Bia3 + Boa4 = 0,
Ag^g + A2/83 + Bga^ + BoOg + Bia4 + Boas - 0, } (6')
KP2 -\- A3/83 + Bgag -t- B2a4 -f BiOs - 0,
krA + A4^3 + 6304 + BgOs = 0,
+ Bga^ = 0,
composé de sept équations homogènes à six inconnues. Cinq de ces équations suffisent pour déterminer les rapports des inconnues ; pour que le système soit possible, il faut que le déterminant ayant pour éléments les coefficients de six quelconques de ces équations soit nul (78). On a donc, en adoptant une notation connue (79),
Afl A| Ag A3 A4 A5 Aq Al A2 A3 A4 A5
Bo Bi Bg B3
Bo Bi Bo B3
Bo Bi Bg B3
Bo Bi Bg B3
c'est-à-dire les déterminants formés avec six quelconques des colonnes du tableau rectangulaire précédent sont nuls (*). Si Ton supprime la dernière colonne, on trouve le déterminant désigné ci-dessus par Ri.
Les valeurs de ^2, ^3, Oo, ... sont proportionnelles aux mineurs relatifs aux éléments d'une même colonne de l'un des déterminants (8), par exemple de Ri. En particulier, ^^ et a^ sont entre eux comme les mineurs correspondants au 1er et au 3e élément de la dernière colonne de Ri, mineurs qui sont égaux aux produits de Bo et de — Ao par le déterminant
Ao Al Ag A3
Bo Bi Bg B3
Bo Bi Bg
Bo Bi
On a donc Rg ^ 0.
Ces développements s'étendent facilement au cas général de deux équations de degrés m et /2, ayantes; racines communes.
