Méthode dialytique de Sylvester. — Soient les équations
f{x) = A^^ + A,x' + A,x:' + A^' + A,x + A5 = 0, f(x) = BoX' + B,x^ + B,x -\- B3 = 0.
(•) Ces déterminants sont les cofacteurs des déterminants partiels formés avec la 1^ et la 4e ligne de R. De cette remarque et du théorème de Laplace (49), on déduit que l'égalité multiple (8) a pour conséquence R = 0.
Une racine commune satisfait aux égalités
x'-F{x) = 0, A-F(x) = 0, F(jf) = 0, x*/{x}=0, x%x) = 0, x^Ax)=0, x/x)=0, /x) = 0.
Ce système est linéaire par rapport aux quantités
X5 Y»4 Y>i yi Y
que nous traitons comme des inconnues distinctes. Puisqu'il y a une équation de trop, le déterminant ayant pour éléments les coefficients des équations (9) doit être nul. On retrouve ainsi la condition R 0(173). De plus, si ^i, a.,..., d^ sont les mineurs de R relatifs à une même ligne, la racine commune satisfait aux égalités
Supposons ensuite que les équations F (jc) ^ 0,f{x) ^ aient deux racines communes. On a encore R = G; mais les mineurs de R sont également nuls, car le système linéaire (9) a plus d'une solution. Dans ce cas, si entre les équations
xF(x) = 0, F(x) =^0, ,„)
x«/(x) = 0, x^f{x)=-0, xAx) = 0, ./(x) = 0,
on élimine cinq des quantités
yS Y** Y^ Y^ Y^ V
on obtient une équation du 1er degré par rapport à l'inconnue restante jc*(/=1, 2,.... 6); comme elle admet deux valeurs pour jc*, le coefficient de x* et le terme indépendant doivent être séparément nuls. On trouve ainsi que les déterminants formés avec six colonnes quelconques du tableau rectangulaire
Aq Al Ag A3 A4 A5
Aq Aj A2 A3 A4 Pir,
Bo Bi Bg Bg Bo Bi Bg B3 Bo Bi Bj B3
Bo Bi B2 Bg
sont nuls; l'un d'eux est le déterminant désigné ci-dessus par Ri.
Soient a ti b les deux racines communes aux équations proposées. Au lieu des équations (11), on peut considérer les suivantes
F(fl) 1
a'fia) 1 b'Ab) 1
aF{a) 1 bF(b) 1
a'Aa) 1 b'Ab) 1
û/(a) 1 bAb) 1
Aa) 1 Aà) 1
qu'on peut écrire ainsi après avoir posé af — bP ^ «p :
Aotts + A,tt,, + A,tt4 + AgUa + Kiii + AsUi = 0, A„a3 + A,tt4 + Ae«3 + A;,«s -j- AsOi = 0,
Botte + Bitts + Bjtt4 + Bgtts - 0,
Bott., + Bitt4 + B2M3 + Bsttj = 0,
Bofl4 + Bifla -f Bjttj 4- B3M1 = 0,
Botta + Bi ttj 4- Bjtti 0.
Pour qu'elles aient une solution non nulle, le déterminant des coefficients doit être nul, ce qui donne Rj = 0. De plus, les quantités ttg, u^, . . , u^ sont proportionnelles aux mineurs de Ri relatifs au éléments d'une même ligne. (*)
Système de deux équations a deux inconnues.
176. Réduction do système primitif. — Soit à résoudre le système de deux équations non homogènes à deux inconnues
Si Ton ordonne F(x, y) par rapport à y^ les coefficients peuvent avoir un p. g. c. d. X, fonction de x; supposons f{x,y) = X/(ar, y\
Le polynôme /(x, y) étant ensuite ordonné par rapport à jc, les coefficients peuvent avoir un p. g. c d. Y, fonction de y ;
(•) Pour une étude plus complète sur l'élimination, le lecteur peut consulter les écrits suivants:
Darboux, Sur la théorie de V élimination (Bull, des Sciences math, et
astr., 1876); Lemonnier, Mémoire sur P élimination (Ann. de l'Ec. normale sup., 1878);
ROUCHÉ, Sur P élimination (Nouv. Ann. de Math., 1879);
Mansion, Sur l'élimination (Bull, de l'Acad. de Belgique, 1878 et 1879;
BiEHLER, Sur la théorie des équations (Paris, Oauthier-Villars, 1879;
Sur l'élimination (Nouv. Ann., 1882) ;
Sur P élimination par la méthode d'Euler (Nouv. Ann., 1887) ; POMEY, Sur le p, g. c, d. de deux polynômes (Nouv. Ann., 1888).
soit f(x, y) —Y ip (X, y). Alors F(x, y) = XY <p{x, y). Supposons de même Fi (x, y) ^= Xj Y^ (p^ (x, y). Le système proposé devient
Si les éq. X =- 0, Xi = ont une racine commune x = a, le système (1) est vérifié par x^a et par une valeur quelconque de y. De même, une racine commune aux équations Y --- 0, Yi = et une valeur arbitraire de x constituent une solution des équations (1).
Soient a une racine quelconque de X' = 0, b une racine de Yi -= ou de q?i{a, y) ^ 0; le système (1) admet la solution X = Uf y = b. De même, une racine 6 de Y = et une racine de Xj -= ou de 9? (x, 6) -= résolvent les équations (1).
D'autres solutions s'obtiennent en combinant une racine fl de Xi = avec une racine de 9?(fl, y) ■= 0, ou une racine b de Yi - avec une racine de (p(x, b) = 0.
Enfin, il reste à résoudre le système
