Elimination par le plus grand commun diviseur

Soient A, B les premiers membres des équations (2) ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x. Divisions A par B; appelons Q le quotient et Ri le reste, de sorte que

A=BQ+R,.

Si la division s'effectue sans introduire y en dénominateur, toute solution du système [A = 0, B = 0] vérifie l'équation Ri = 0, et toute solution du système [B -- 0, Ri = 0] satisfait à l'équation A -= 0. Le système [A - 0, B =- 0] est donc équivalent au système plus simple [B = 0, Ri = 0].

Divisons maintenant B par Ri, Ri par le reste de cette division ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste r indépendant de x. Pour fixer les idées, soient

A -^ BQ + R„ B ^ RiQi + R21 Ri = R2Q2 -\- R3; R2 = R3Q2 + ^

les égalités qui traduisent ces différentes opérations. Si les quotients Q, Qi, Qs, Q3 sont entiers par rapport à y^ le système [A = 0, B -= 0] est équivalent au système [R3 0, r = 0].

Trois cas peuvent se présenter :

lo r est fonction de y. L'équation r =- donne les valeurs cherchées de j; ; si Ton substitue l'une de ces valeurs dans R3, l'équation R3 -- donne les valeurs correspondantes de x,

2o r est numérique. Le système [Ry == 0, r = 0] étant impossible, il en est de même du système proposé.

30 r est identiquement nul. R;, divise R2 et par suite R,, B et A ; on peut donc poser

A = R3A', B =^- R3B', Ri = RsR'i, R2 - RbQs-

Le système [A = 0, B = 0] peut être remplacé soit par l'équation R3 = 0, soit par le système [A' = 0, B' 0]. Mais les équations A' = 0, B' - n'ont pas de solution commune ; car en divisant les deux membres des égalités

A = BQ + Ri, B .- RiQi 4 R^, R^ = R^Q, + R,

par R;^, on obtient

A' = B'Q + R'i, B' ^ R'iQi + R'^, R\ - R'^Q^ + 1,

de sorte que le système [A' = 0, B' = 0] rentre dans notre second cas.

178. Solutions étrangères. — La recherche du p. g. c. d. des polynômes A et B introduit ordinairement des dénominateurs fonctions de y. Pour les éviter, on multiplie A par un facteur convenable C, fonction de y. Soient alors Q le quotient et RjVi le reste, v^ étant le p. g. c. d. des coefficients du reste ordonné par rapport à x Nous aurons ainsi

CA - BQ+ RiVi.

Toute solution de [A = 0, B ^ 0] appartient à l'un des systèmes

[B 0, Ri = 0], [B -- 0, Vy= 0].

Mais une solution de l'un de ceux-ci peut satisfaire soit au système primitif, soit au système [B = 0, C = 0]. Toutefois, si l'on a eu soin de débarrasser B des facteurs en y communs à

tous ses coefficients et de multiplier A par le facteur C le plus simple qui évite les dénominateurs, les solutions du système [B = 0, v, - 0] n'appartiennent qu'au système primitif [A — 0, B =^ 0]. En effet, soit y — fi une racine commune aux équations Vi -- 0, C — ; si l'on remplace y par fi, l'identité CA ^ BQ + R,v, devient BQ -0; on ne peut avoir BQ — pour toute valeur de x que si tous les coefficients de B ou ceux de Q s'annulent, c'est-à-dire sont divisibles par j^ — fi. Le polynôme B étant supposé débarrassé de tout facteur commun à ses coefficients, Q est divisible par

y — fi; dès lors, il aurait suffi de multiplier A par ^

au lieu de C pour obtenir un quotient entier.

Au système [A = 0, B = 0] on peut donc substituer les deux systèmes

pourvu que l'on écarte les solutions de [B =0, Ri = 0] qui vérifient l'équation C = sans satisfaire à A = 0. L'une des équations du système [B = 0, v^ = 0] ne renfermant qu'une seule des inconnues, sa résolution ne présente pas de difficulté particulière. Quant au système [B = 0, R, = 0], on le traite comme le système primitif (*).

179. Elimination par la méthode dialytique. — Ordonnons A et B par rapport aux exposants décroissants dex. Soient alors

B = BoJ^ + B,x^-' + ... + Bo,

les coefficients Ai, Bi étant des fonctions entières de y. Si X — dj y = b est une solution du système [A = 0, B = 0], les polynômes A et B, après le remplacement de y par 6, acquièrent un diviseur commun x — a; donc leur résultant R doit être nul (173). Formons ce résultant en laissant subsister j; dans les coefficients Aj, Bi : l'équation R = sera Véquation finale en y.

{•) Labatie, ancien professeur à la faculté de Strasbourg, a fait connaître en 1832 un théorème qui résout toutes les difficultés de 1 élimination par le p. g. c. d. (Voir le Cours (Valgèbre supérieure, par M. J.-A. Serret, t. I, p. 198, 3e édition).

Pour trouver R, on éliminera, ainsi qu'on Ta vu (175)

entre les équations

^-»A = 0, x"-2A= 0, ..., xA= 0, A- 0, x"«-iB= 0, JC"-2B^0, ..• , JcB= 0, B=0.

Applications.