Equation aux sommes des racines deux à deux

Etant donnée Téquation F{x) = de degré m, cherchons réquation f{u) = ayant pour racines les sommes des racines de F(x) = prises deux à deux.

L'inconnue « a C? valeurs ; le degré de f{u) est par suite 2 m{m — 1).

Si x^f x^ sont deux quelconques des racines de F(x) =- 0, et u leur somme, on a les égalités

u = x,+ Xg, F{x,) = 0, ¥{x^) = 0,

entre lesquelles on doit éliminer Xi et x». L'équation en u sera donc le résultat de l'élimination de x, entre

La dernière équation peut-être remplacée par l'équation

dont le premier membre est divisible par (u — Xi) — Xi, et qui, par suite, a la forme (u—2Xi)(p(UfXi) =0.

Si l'on élimine x, entre F(x^) =^0, u — 2Xi = 0, on trouve l'équation

qui est étrangère au problème: elle suppose que dans la formation des valeurs de w, on ajoute chaque racine de F(x) — Oà elle-même. L'équation demandée s'obtient en égalant à zéro le résultant des polynômes F(x), (p{u, x).

181. Equation aux carrés des différences. — Etant donnée réquation F{x) = de degré m, formons l'équation J\u) = dont les racines soient les différences deux à deux des racines de F(x) = 0.

L'équation f(u) = s'obtient en éliminant x„ x^ entre

u = x^ — X,, F(xi) = 0, F(Xi) = 0, ou en éliminant x^ entre les deux équations

F(x,) = 0, F(x, + tf) = 0, (1)

dont la dernière peut s'écrire ainsi

F(xO 4 uF{x,) + i^ F'(x) + ... = 0.

Le système (1) se ramène donc aux deux suivants :

F(xO = 0, F'(-^0 + 3^ P'(J^i) + ... 4 ,^^F(™)(x,) = 0. (3)

Le système (2) correspond aux valeurs de u qu'on obtient en combinant chaque racine de F(x)^0 avec elle-même. L'équation demandée f(u) correspond au système (3) ; par suite, on égalera à zéro le résultant des polynômes

Le degré de f{u) est égal au nombre des arrangements de m objets deux à deux, ou égal à m{m — 1) ; mais les valeurs de u étant deux à deux symétriques (deux valeurs sont, par exemple, x, — x^^ x^ — x,), f{u) ne renferme que

des puissances paires de u et s'abaissera au degré -^/«(w — l)

si l'on pose u- v. L'équation en v est dite Véquation aux carrés des différences de la proposée.

Exemple. ~ f {x) -^ x:^ -\- px -\- q L'équation auxiliaire f{x-\-u)=Q se ramène à

3x2 ^ 2xu 4 a^ + p = 0.

Appliquons le procédé du p. g. c. d. aux polynômes x^ + px + q, 3x» + 3xi/ + tf « + )c; et égalons à zéro le reste ; nous aurons Téquation cherchée

u^ + tpu"^ ^- <ip^u^ t- {/^P^ + 27^2) = 0, qu'on ramène au 3e degré en posant U^ -- v.

Exercices et notes.