THÉORIE DES RACINES ÉGALES

182. Théorème.. — 5/ a est p fois racine de l'équation algébrique F(x) =^ 0, il est racine des équations

P(x) - 0, F"(x) - 0, .... FP-')(x) - 0,

avec les degrés de multiplicité

mais il n'est pas racine de F(p'(x) = 0.

En effet, F(x) = F(c + jc — a) ; d'où F(x)=^F(û) + (x-fl)F'(û)4^^^ F"{B)+...+ ^^^=^F(p)(c) + ...

Par hypothèse, F{x) est divisible par (x — û)p sans l'être par {x — fl)H-i. Les conditions nécessaires et suffissantes pour qu'il en soit ainsi, sont évidemment

F(a) = 0, F(fl) = 0, F\a)^0, ... FP-»)(a) = 0, pp)(a)/0;

donc a est racine de chacune des équations (1).

Ces mêmes conditions établissent que a est {p — 1) fois racine de F'(x), {p — 2) fois racine de F"(x), etc.; car a annule les {p — 2) premières dérivées de F(jc), les {p — 3) premières dérivées de F"(x), etc.

On démontre le théorème en dérivant l'identité

F{x) = (x- a)Mx),

ce qui donne

F(x) ~p{x - a)^'fix) -\-(x- af<p\x).

Comme (p(x) n'est pas divisible par x - a, F(ji:) est divisible par (x - û)p- i sans l'être par (x-a)p. De même, F"(x) est divisible par (jc-a)p-2, etc.

183. Remarque. — Si a est q fois racine de F(x), ou il n'est pas racine de F(x), ou il Pest (q + 1) fois.

Il peut se faire que a ne soit pas racine de F(x). S'il est p fois racine de F(x), il tsi p — \ fois racine de f\x) ; dans ce caS; p — 1 ■-= Çf d'oti p = q -]- \,

184. Théorème. — Le p. g, c. d. d'une fonction entière F(x) et de sa dérivée F'(x) est égal au produit des facteurs premiers multiples de F(x), V exposant de chacun d'eux étant diminué d'une unité.

Soit par exemple

F(x) = (X - ay {X - b)Hx - cyf{x\

f(x) n'ayant que des facteurs premiers simples, différents de x — a, X — b, X — c. D'après le théorème (182), f\x) est divisible par (x — d)^\ (x — bY~\ (x — cy~'' sans l'être par (x — ay, (x — by, (x — cy ; de plus aucun facteur linéaire de f(x) ne divise F'(x). Donc le p. g. c. d. de F(x) et F'(x) est

(x — a)^' (X — by-' (x — cy

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