Rédaction d'une équation qui a des racines égales
Pour reconnaître qu'une équation F(x) -- a des racines
égales, il suffit de voir si F(x) et F(x) ont un commun diviseur en x. On peut aller plus loin et ramener la résolution de F(jc) = à la résolution d'autres équations donnant, respectivement, les racines simples, les racines doubles, les racines triples, . . . , de F(x), abstraction faite de leurs degrés de multiplicité.
Pour fixer les idées, considérons une équation F(x) qui a des racines simples, des racines doubles, des racines triples et des racines quadruples. Soient X, le produit des facteurs linéaires simples de F{x) (*), Xj le produit des facteurs doubles, Xg celui des facteurs triples, X4 celui des facteurs quadruples, chaque facteur étant pris une seule fois. Nous aurons
Par des divisions successives on obtient le p. g. c. d. D entre f(x) et F'(x); d'après le théorème (184),
De même, on cherche le p. g. c. d. Di entre D et sa dérivée ; on aura Di = XgXî, De même encore le p. g. c. d. Dg entre D, et sa dérivée; on trouve D^ = X^. On a ainsi:
r(x) ''-= XiX^XaX*, D = XjXgX^, Di = XsX*, Ds = X4.
Divisons F (x) par D, D par D^, Dj par Do ; soient Q, Q„ Q2 les quotients. Nous aurons
Q = X1X2X3X4, Qi ^^ X2X3X4, Qs = X3X4 D2 = X4.
Divisons encore Q par Qi Qi par Qg, Q2 par Dg ; il vient
W -y Wl Y" ^" Y Pi V
q7~ ' QT^ " dT" '' U2-A4.
Donc, la résolution de F(x) -= est ramenée à la résolution d'autres équations donnant les racines d'un même degré de multiplicité. Ces nouvelles équations s'obtiennent au moyen de simples divisions.
186, Application. — F(x) -^x7-2x- -x^ + x^ + 2x--l ^ 0.
Le p. g. c. d. de F(x) et F'(x) est
C) Par exemple, si F(x) = (x - a\x - bf (x - cY (x - df . on a X, = (x - a), X, = (x-b) (x-r), X3 = (x-d).
Le p. g. c d. de D et sa dérivée Sx^ — 2x — 1 est
Di étant premier avec sa dérivée, l'équation n'a pas de racine d'un degré de multiplicité supérieur à 3; on voit même que l'équation Di - donne la racine triple x=l.
On a ensuite
Conséquemment
187. Remarques. — I. Si une équation à coefficients cornmensurables admet une seule racine multiple de tordre p, cette racine est commensarable.
Car de simples divisions servant à séparer X„ Xg,..., tous ces polynômes ont des coefficients com mensurables. Mais, par hypothèse, Xp est du premier degré; donc la racine multiple de l'ordre p est commensurable.
IL La méthode des racines égales donne des calculs longs et pénibles. Lorsque le degré de l'équation ne dépasse pas 5, la méthode des racines commensurables (Chap. VIII) suffit.
En effet, une équation du 3c degré peut avoir une racine simple et une racine double, ou une racine triple ; dans les deux cas, la racine multiple est commensurable (Voir remarque I).
Une équation du 4e peut avoir une racine simple quadruple, deux racines simples et une racine double, une racine simple et une racine triple, ou deux racines doubles. Dans les trois premiers cas, la racine multiple est commensurable; dans le dernier cas, le premier membre de l'équation est un carré parfait.
Soit une équation du 5e degré. Si elle a deux racines doubles et une racine simple, celle-ci est commensurable; en l'écartant de l'équation, on obtient une équation du 4c degré dont le premier membre est carré parfait. Dans les
autres cas, une racine multiple est unique de son degré de multiplicité et par suite commensurable. L'équation peut même être résolue par des moyens élémentaires, excepté dans le cas oii elle a une racine double et trois racines simples.
Emploi des polynômes homcTgènes. - Discriminant.
188, Théorème d'Euler. - Considérons la fonction homogène de deux variables
On peut dériver F {x, y) soit par rapport à la lettre x, soit par rapport à la lettre y; soient Fx, Fy les résultats. Des égalités
F{x,y)=^2A^x^-Yf Fx -- 2(m — n) A^-"-y, Fy -- -S/i AnX"-"jf»~*,
on déduit immédiatement Tidentité
mF(x,>^)- xFx + j/Fy. (1)
Fx admet une dérivée par rapport à x désignée par F"xx ou F^'g, et une dérivée F^'^ par rapport à j; ; F ^ admet deux
dérivées représentées par F" , F\. On vérifie facilement que F'* = F"
xy yx*
La relation (1) appliquée aux polynômes F',, Fy donne
X x^ "^ xy ^ -y yx -^ x^ ^ Si on élimine F'x et Fy entre les égalités (1) et (2), il vient m(/7^ - 1) F (X, y) = x^F^, + 2xj;F;;;^ + /F^,. (3)
Chacune des dérivées secondes, F'^2, Fxy; F'^^, admet une dérivée par rapport à x et une dérivée par rapport à j^ ; on a
On voit facilement que F;;^^ = F^^^, F^;^ = F;^''^. Des égalité (3) et (4), on déduit
m{m-\){m--2)F{x,y)=x^F-^+3?yF-^^^^ (5)
En général,
^ F(P) +/;xP-'j;F(P^+ ^^^^ ^YF^^^y, +
Le second membre de cette formule, abstraction faite des dérivées qui y entrent, est le développement de (x + yf.
189. Conditions pour qu'une éqmation homogène ait une racine multiple. — Soit a une racine d'ordre p de Téquation
F(x) - AoX^ + A, X" »+... + A„ - 0;
le premier membre sera égal à (jf — ayf{x\f{x) étant une fonction entière qui n'admet pas le diviseur x — a. Si Ton
remplace x par — et qu'on chasse les dénominateurs, on
obtient l'identité
AoX^ + AiX" ^j; + ... + A„ ,xy» '^Kf = {x—ayyf{x,y)
On convient de représenter par F (a:,j;),/(x,j?) les polynômes homogènes qui ont les mêmes coefficients que F (x), / (x) ; de cette manière F(a:, 1) = est l'équation proposée, et F(l, j') = est la transformée aux inverses des racines (138). En dérivant l'égalité
F (x, y) = {x- ayYfix, y)
successivement par rapport à x et par rapport à y, on trouve
F'x -- p(x ~ ayy «/(x, j;) \ (x- ayyf^
F'y --ap{x- ayy 7K y) + (x - ayyf^.
On voit que F'x et F'y sont divisibles par (x — ay)^* sans Vêtre par une puissance supérieure de \ — ay.
Réciproquement, si F'x et Fy sont divisibles par (x— ay)**"* sans qtCils le soient par (x — ay)^, la plus haute puissance de\ — ay qui divise F (x, y) e$t (x — ay)^. En effet: 1» Tégalité ^^(x^ y) = xF'x + j'Fy montre que F (x, y) admet le diviseur (x — ayy~^] 2o si une puissance supérieure {x — flj?)p-N divisait F(x, y), F'x et F'y seraient divisibles par (x— aj;)p+^-', ce qui est contraire à Thypothèse; 3^ quand un diviseur X — ay de F'x divise aussi F'y, il est diviseur avec un même degré de multiplicité de F'x et de F'y ; car si F (v, y) est divisible par (x — ayY^ F'x et F'y le sont par (x —ay)^-^,
F'x et F'y étant divisibles par la même puissance {x—ay^-^^ leurs dérivées F'^, F" f\ sont divisibles par la même puis-
X xy y
sance (x — ayY'^ sans que l'une le soit par (x — ay)^-^.
Réciproquement, si les trois dérivées du second ordre de F (x, y) sont divisibles par x — ay^ elles admettent ce diviseur avec un même ordre de multiplicité et F (x, y) l'admet avec cet ordre augmenté de deux unités. En effet, si F^'g est
divisible par (x — ay)P"^ la dérivée F" Test également,
puisqu'on suppose F^'g et F" divisibles à la fois par x — ay;
de plus, F'x admet le diviseur (x — ayy-\ De même, F" et
Fy 2 étant divisibles par x — ay, la première de ces fonctions
l'étant même par (x — ay)^-^, la seconde Test aussi par (x — ay)^"'^, et F'y admet le diviseur (x — ay)^-K Donc, d'après ce que l'on a déjà vu, F (x, y) est divisible par (x—ayYj (x — ay)^\
En continuant ce raisonnement, on arrive au théorème suivant :
Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un polynôme homogène F(x, y) soit divisible par (x — ay)^, sont que toutes les dérivées du (p — 1 Y ordre^
p(p-l) c(P-0 p(P-ï) p(P-) c-ÏP-ï
soient divisibles par x — ay sans que Vune d'elles le soit par une puissance supérieure de y. — ay.
Nous faisons observer que, si toutes les dérivées d'un même ordre de F(x, y) sont divisibles par x — ay^ et si l'une d'elles Test par [x — ayY, toutes les autres le sont également.
190. Remarque. — Pour exprimer q'une équation à coefficients indéterminés,
a une racine multiple d'ordre p (*), on applique le procédé
du p. g. c. d. aux polynômes FÎ^p~-i, F^p'-Ljusqu'à ce qu'on
arrive a un diviseur Mx {- Ny du premier degré et à un
reste R/. Une première condition est R -- 0, et la racine
Nv d'ordre p estx -- — -rf; on exprime encore que cette racine
annule les autres dérivées d'ordre ^t? — 1 de F(jc, y).
191 Discriminant. — Pour exprimer qu'une équation homogène à coefficients indéterminés, F(x, y) = 0, a une racine double, il suffit d'égaler à zéro le résultant des polynômes F'x, F'y. Ce résultant se nomme le discriminant de
