II. Considérons l'équation complète

ax' + 3bx' + 3rx+ rf = 0, (2)

ou sous forme homogène

fljc^ + 3bxy -t 3cxy' + dy^ -- 0.

Une racine double satisfait aux équations dérivées: 0x2 ^ 2bxy + cy^ =0, bx^ + 2cxy + dy^- - 0.

n On peut sous entendre que y est une variable d'homogénéité dont la valeur est arbitraire ou égale à l'unité.

Si Ton élimine, tour à tour, jr* et x*, on obtient les égalités

(ad — bc)x-\ 2{bd —d')y = 0, 2{b^ — ac)x + (bc— ad)y = 0.

Entre celles-ci il est facile d'éliminer les variables; on trouve

(ad — bcY — A(ac — b^) (bd — r^) - 0.

Comme l'équation (2) peut se ramener à la forme ^ -\- px + q ■-= 0, le descriminant peut être mis sous la forme Ap^ + 27^^ Effectivement, si Ton multiplie Tégalité (3) par a^, quelques transformations faciles donnent

(2b'' — ^abc-\- ca'Y + A(ac — b^f - 0.