Lemme. — Lorsque x variant d'une manière continue

rf^ — oo à -j- oo passe par une racine de V équation F(a;) = 0,

F(x) le rapport p, ' passe du négatif au positif.

Soit a une racine d'ordre p ; nous aurons

Y(x)^ (X— fl)P(^{x), f\x) =p(x- a)p- V (X) + (X - fl)>' (x\

(p(x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour x = a. Par suite,

F(x) x — a ^ (p{xY ria±h) h^ (p{a±hy

Si h est un nombre positif suffisamment petit pour que (p(x) n'ait pas de racine dans Tintervalle {a—h^ û + A);

le quotient ^y r^ a une valeur finie, tandis que ^ a une

valeur infiniment grande. On conclut

f{a — h)^ ^' F(fl t-/r)

194. Corollaire, — Si a est p fois racine de F(x) = 0, la suite ¥(x\ f\x\ r\xl ..., F<p-')(x), F(p)(x) (1)

n'a que des variations pour x a — A et que des permanences pour X - a + A, pourvu que h soit positif et suffisament petit.

En effet, a étant racine des équations

deux termes consécutifs de la suite (1) ont des signes contraires pour x ^ a — A et le même signe pour x = a + A.

195. Définitions. — Deux racines réelles, a et 6, d'une équation sont dites consécutives, quand elles ne comprennent aucune ' autre racine.

On dit qu'une racine de l'équation F(^) -= est séparée lorsque l'on connaît deux nombres a et ^, qui comprennent cette racine et qui ne comprennent que celle-là.

Pour déterminer les racines incommensurables d'une équation, il importe de savoir séparer les différentes racines, c'est-à-dire de trouver deux nombres comprenant une racine et une seule. Le théorème de Rolle peut, dans certains cas, servir à résoudre ce problème.