Théorème de Rolle

lo Deux racines consécutives (Tune équation f{x) comprennent un nombre impair de racines réelles de V équation dérivée F'(x) - 0.

2o Deux racines consécutives de V équation dérivée comprennent au plus une racine réelle de la proposée.

3o U équation f{x) = a, au plus, une racine réelle plus grande que la plus grande racine réelle de F'(x) et, au plus, une racine réelle plus petite qtie la plus petite racine de F\x) =-■ 0.

lo Soient a et b {a<Cib) deux racines réelles consécutives de F{x) 0, et soit h un nombre positif aussi petit qu'on veut. D'après le lemme démontré ci-dessus,

F(a+A) Fjb^h)

Or F(a -f- h) et f(b — h) ont le même signe ; autrement, entre a-^h ei b — A il y aurait au moins une raciue de F(x) (127), ce qui est contraire à l'hypothèse. 11 en résulte que f\a + h) et ?\b — h) sont des signes contraires ; par conséquent F'(x) a un nombre impair de racines comprises entre a -{- h et b — h on, ce qui revient au même, entre a et b,

2o Soient a et /î (a<ifi) deux racines réelles consécutives de F(x). Si elles comprenaient plusieurs racines a, b, ..., (a <^b ..,) de ¥{x), F(x) aurait au moins une racine a' comprise entre a et b, etc. ; a' étant compris entre a et p, les racines a, fi ne seraient pas consécutives.

30 Si F(x) avait plusieurs racines a, 6, ... (a -< ô ...) plus grandes que la plus grande racine k de F'(x), les nombres a, b comprendraient au moins une racine A' de F'(x), ce qui implique contradiction, A' étant plus grand que L

Raisonnement analogue pour la plus petite racine de P(x) - 0.

Reanirqae. — La courbe représentant Téquation y = F(x) rend très bien compte du théorème de Rolle (fig. 18).

Deux racines consécutives Fig. 18.

de réquation F(x)-=0 correspondent à deux intersections consécutives A et B (ou B et C) de la courbe avec Taxe OX.

Entre A et B, par exemple, la courbe présente un point maximum D où la tangente est parallèle à OX ; entre B et C, nous rencontrons trois points E, F, O où la tangente est horizontale ; entre les points D, E qui correspondent à deux racines consécutives de l'équation F(x) = 0, nous rencontrons un point d'intersection (et un seul) avec OX ; entre E et F, la courbe ne rencontre pas cet axe.

197. Théorème. — Les racines réelles de t équation dérivée f\x) = peuvent servir à séparer les racines réelles de Pikfuation primitive F(x) - 0.

Soient ai, ôi, Ci, ..., A les racines réelles, supposées distinctes, et rangées par ordre croissant, de F'(x) = 0, et considérons la suite (appelée suite de Rolle)

— ex?, Ui, b,, Ti, . . . , /„ -j- oo. (2)

D'après le théorème précédent, deux termes consécutifs de cette suite comprennent, au plus, une racine de F (x). Substituons les nombres (2) à x dans F(x) et considérons les signes des quantités

F(-oo), F(aO, F(6J, F(t\), ..., F(A), F(oo). (3)

Les variations de cette suite de signes font connaître les intervalles de la suite (2) qui comprennent une racine de F(x) et une seule. Par exemple, suivant que F(û:i) et ?(b^ sont de même signe ou de signes contraires, F(x) n'a pas de racine comprise entre a^ et ô, ou en a une seule appartenant à l'intervalle (ûi, ôj.

Si l'un des nombres a,, Ai, ..., par exemple ô„ annule F(x), b^ est une fois de plus racine de F(x) que de F'(x) (183). Pour

voir si les intervalles (ûi, éj, ibi, a) comprennent une racine de F(x), on compare les signes de F(fli) et F(bi — A), et ceux de F{bi + h) et F(a), à désignant une quantité positive très petite {*). On ne peut avoir à la fois Fiai) ^ 0, F{bi) = 0; car la dérivée F{x) aurait alors une racine comprise entre di et 6„ce qui est contraire à l'hypothèse.

Application. — Séparer les racines de l'équation

D'après le théorème de Descartes, il y a une ou trois racines positives, une racine négative. L'équation dérivée

F\x) = 12jc(x« — 5x + 6x) ayant les racines 0, 2, 3, nous formons le tableau :

X,.. — oo, 0, 2, 3, ^ oo F{x) ... + c», — 7, 25, 20, + oo.

Les variations de la seconde ligne montrent que F{x) a une racine négative et une seule racine positive, comprise entre et 2. Comme F(l) = 12, la seconde racine est < 1.

198. Théorème. — Si r équation F(x) - a toutes ses racines réelles et inégales, les racines de V équation dérivée F' (a:) = sont réelles, inégales et séparées par celles de F(x) — 0.

En effet, soient a, b, r, ..., k, l les m racines de F(x) supposées distinctes et rangées par ordre croissant. Chacun des {m— \) intervalles (a, ô), (6, r), ..., (A, /) comprend au moins une racine de F'(x) ; comme celle-ci est de degré (m — 1), il y a précisément une racine dans chacun des intervalles.

199. Remarques. — 1. Le théorème (198) subsiste encore dans le cas des racines égales, pourvu qu'une racine d'ordre p compte pour p racines consécutives.

Pour fixer les idées, supposons que b soit p fois racine de F (x) et représentons la suite des racines par

a, 6„ b., ..., ôp, r, rf, ..., /, (4)

où 6i =- 6.J = ... 6p = b\ cette suite offre {m — 1) intervalles. Comme b est {p — 1) fois racine de F'(x) = 0, on peut attribuer

(•) Les signes de ?(bi - h) et F(^i + h) sont ceux de - F'(^i - h) et F'(^i -f h) (193) et ces derniers signes se déterminent facilement.

une racine à chacun des intervalles formés par la suite 61, ôa,..., bp ; les autres intervalles de la suite (4) comprennent au moins une racine de F^^). On en conclut que toutes les racines de P(x) sont réelles et séparées par les racines de F(x).

II. On démontre, de la même manière, la proposition suivante :

Si r équation f(x) - ^z p racines œmprises entre deux nombres donnés, V équation F'(x) ^ en a au moins p — 1 dans le même intervalle, une racine d'ordre q étant comptée pour q racines simples.

III. Réciproquement, si Véquation F'(x) = a p' racines réelles dans un intervalle donné, Véquation F(x) =z en a^ au plus, p' + 1 dans le même intervalle.

Car de /?' ^ /; — 1 on déduit p :^p' -{- \, Il résulte de là que F(x) a, au moins, autant de racines imaginaires que F'(x).

200. Application. — Conditions pour que l'équation f(x) = A„x8 { 3A,x'' + SA^Jf + A3 ait trois racines réelles et inégales.

Soient a, 6, c ces racines rangées par ordre croissant. D'après le théorème de Rolle, f\x) a une racine a comprise entre a et ô, et une racine ^ comprise entre b et c. Inversement, F(x) a une racine a comprise entre — 00 et a, une racine b entre a et /?, une racine c entre /? et + ^- Donc si Ao > 0, la substitution de

— oc, a, A 4-oc

à la place de x donne à F(x) les signes

Donc F'(x) a deux racines réelles a, p et F(a) F(/î) <^ 0.

L'inégalité F(a) F(/^) < suffit pour assurer la réalité des trois racines de f{x). D'abord, lorsque les racines a, p de F'(x) sont imaginaires ou réelles et égales, le produit F(a) F(/S) est, respectivement, un produit de deux imaginaires conjuguées ou un carré parfait et, par suite, positif ; donc la relation F(a) f{P) <[ n'a lieu que si les racines a, p de FXx) sont réelles et inégales. Ensuite, si l'on suppose Ao> et a < p, la dérivée f\x), égale à Ao(ir — a) (x—p\

est négative dans l'intervalle (a, ^ ; donc f{x) est décroissante et l'on a F(a) > F(/S), de sorte que l'inégalité F(a) f(p) < entraîne F(a) > 0, FO?) < 0.

Le produit F(a) F(/S) peut prendre une forme remarquable. En effet, introduisons une variable d'homogénéité y et posons

f{x^) = A^ + 3A.x«j; 4- 3A,xy^ + A^.

L'identité d'Euler (188) donne

3F(jc j) - xF,{x,y) + yFy {x,y) ;

d'oît, en remplaçant y par 1 et a; par les racines de F'(jf),

Par conséquent

F(a) F(^) --= (A,a« + 2Asa + A3) (K^' + 2Aa/« + A3). Substituons encore les valeurs

- A, - Kaî - AoA, - A, + Va\ - AoA,.

il vient

(2AÎ - 3A„A,A, + A^Ai!)» -f- 4(AA - Aï)'

(ApAg AiAg) 4(Ai A0A2) (Aj JKiJK-^)

Pour que F{x) ait une racine double; on doit avoir Fia) -- ou ¥(fi) 0; on retrouve ainsi la condition (192, II)

(A0A3 - A.A^)*^ - 4(A; - AoA,) (Aï - A. A3) - 0.

Exercices et notes.