Si m est impair, l'équation
r{x)=— + ±-- + ±-—+... + x + a^O (1) fn m — 1 m — z
a une seule racine réelle. Si m est pair, elle a deux racines réelles au plus. On a f\x) = ' —' Quand m est impair, on a constamment F(x) > 0;
donc F(jc) croît sans cesse avec x et s'annule pour une seule valeur de x, de signe contraire à a. Quand m est pair, F'(jc) s'annule pour une seule valeur réelle jt= - 1, qui est racine simple de F'(jc) ; de plus, F'(jic) < ou ^ suivant que jc <[[ - 1 ou ^ - 1, de sorte que F(jc) décroît dans l'intervalle (- co, - 1) et croît dans l'intervalle (-1, ex?). Donc, si F( — 1) ^ 0, toutes les racines de ¥(x) sont imaginaires. Si F( - 1) <[[ 0, F(jc) a une racine dans l'intervalle ( - oo, - 1) et une seconde racine dans l'intervalle ( - 1, -f ooj ; celle-ci est comprise entre - 1 et ou
est positive suivant que a est positif ou négatif. Enfin, si F(-1) = 0, Y(x) a une racine double x = - 1 et n'a pas d'autre racine réelle.
L'équation (1), par la substitution J- = t;*' devient
5. Si k est un nombre réel, deux racines consécutives de l'équation Y (x) = comprennent un nombre impair de racines de l'équation
Fi (x) =F{x) ^ kF{x) = 0. (Waring, 1734-1798).
Fi (x) jouit des propriétés de F'(.r) qui interviennent dans le théorème de Rolle. En effet : lo Une racine d'ordre p de F(x) çsi p - \ fois racine de Fi(x), 2o Si h est un nombre positif assez petit, les rapports
F(fl - h) F{a+h) Fi (a -A)' FM+à)
ont des signes contraires ; car, si a est p fois racine de F(x), on a
Fia + h) =^F(P>(«) + .., F.(fl + h)=—^^^ F'PXa)+ ..,
et les signes de F(a + A), Fi(a + h) sont ceux des premiers termes de leurs développements. Cela posé, si a et b sont deux racines consécutives de F(^), F(a*-f- h) et ¥(b - h) étant de même signe, ¥i(a + h) et Fi (b-h) sont des signes contraires.
Remarques. - I. Les racines réelles de F 1(^7), jointes à - 00 et + 00 peuvent servir à séparer les racines de F(^).
II. Si f(x) a p racines réelles, fi(x) en a au moins/? - 1 ou plutôt en a au moins p, car f(x) et Fi (x) sont de même degré.
III. Si f(x) n'a que des racines réelles, il en est de même de ?i(x). 6. Si f(x) a toutes ses racines réelles, il en est de même de
Fp(x) = floF i^) + fl.P W + a^^'^x) + - + ûpF*HJf),
Aq, ûp flj,... étant des constantes telles, que le polynôme
ait toutes ses racines réelles. HeRMITE (Dieuze 1822 -Paris 1901). En effet, considérons les polynômes
f,(x) = f{x)-k,f\xl F,(x) = F,(x)-A,P.(x), ... Fp(x)=F^,(x) -k^F^,{x)=f{x)-Sk, . F(;c) + 2k,k, . F"(x) ... .
Toutes leurs racines sont réelles (ex. 5). Prenons pour ki^ k2,...kp les racines de /(a?), etc.
Remarque. - Plus généralement, Y^(x) a au plus autant de racines imaginaires que F (x).
