Soit

\ d^i ôxn dx\

une équation aux dérivées partielles entre les variables indépendantes :ri, . . . , ^^2 et une fonction inconnue z. On pourra remplacer cette équation par le système des deux suivantes :

(77) F(-. -2^1, -".^n^Px^ . ",Pm J^'^ •

dz — \ Pi dxi ■=: o.

Soient Z, X/, P/ des fonctions de z, Xi^ pi déterminées comme ci-dessus, de manière à satisfaire à l'identité

c/Z - y P/ dXi ^rJdz— s Pi dx^ .

Substituant dans les équations (77) les valeurs de z, Xi^ pn

~l-^ ; •••en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par-

(jx ^

tielles par rapport à X|, Xo, . . . , on aura de nouvelles équations

q>l Zi, Al, . . ., A,j, 11,..., r„, . . . , j^. • • • 5 ^^^-5 • • 'Y

dZ—SVidXi — 0, équivalentes à l'équation aux dérivées partielles

Cette équation transformée est du même ordre que la primitive.

271 . Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a donné le nom de transformations de contact, ont une grande importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà considérée par Legendre,

Z =r — 3 + \ piXi, Xi — pi, P,- = Xi,

C'est bien une transformation de contact, car on a

<:/Z — \ P/ r/Xj m — dz + \ {pi dxi -f- Xi dpi ) — \ Xi dpi

— —idz — \pi dxi \ .

Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on déduit des équations ci-dessus, résolues par rapport à ^, xi^ pi,

-^^P,X„ ^,-=P„ Pi=Xi.

IIL — Équations aux dérivées partielles du second ordre.

272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la plus simple est évidemment l'équation monôme

Am-\-n 2;

Il est facile de trouver son intégrale générale.

En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée

-r— - = a; on aura

Donc, pour une valeur constante de r, la quantité w, considérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m'*^''"® nulle; elle sera donc de la forme

Ao+ A,^-r-,

Ao, . . . , ^m-\ étant des quantités indépendantes de x et, par suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule variable y.

La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura

1^ = Ao+ Ai^ + . . . 4- K-vX"'-K

f)yn

Désignons par Yq, ..., Y,;,, des fonctions de y, ayant respectivement pour dérivée ai'"'"° Aq, . . • , A^-i- L'équation précédente admettra la solution particulière

Pour obtenir la solution générale, posons

L'équation deviendra et donnera

p .rr- Xo + Xi/ + . . . -f- X,,, y^-\

Xo, . . . , ^:i-\ étant des fonctions arbitraires de x. On aura donc finalement

5 = Yo 4- Yi ^ + . . . 4- Y,„, T'—\ -t- Xo -h Xi/ + . . . + X,,i y"-'.

D'ailleurs Aq, . . • , A,„, étant des fonctions arbitraires de j, leurs intégrales n'^'^''' Y», ..., Y^-k seront également des fonctions arbitraires.

En particulier, l'équation du second ordre

dx dy aura pour intégrale

^rrzX + Y.