CHAPITRE III

^X, dX,

âz dx,

dpn

= pA r^iîz p" + ''

dPn dP„

dP:^

dz dx^

dpn

Donc J n'est pas nul.

268. Soit maintenant u une fonction quelconque de s, .r/, Pi. On aura

, \^ du , du j

"" — y ':i — dxk 4- -^ — dpk

^kdxu dpk

ou, en substituant pour dxh^ dpk les valeurs (73), ^du—\ ([P,w]^X, — [X,«]^P,).

Faisons en particulier u = X/;, puis ?« = P/^; il viendra

Les différentielles d'X/, (iP/ étant indépendantes, ces équations devront être identiques; on en déduit

[X,X,] = o, [P,P,-]=o, [P,X,]=p, [P,X,]=zo.

Faisons enfin u = Z. L'identité (64) donne, en remarquant que dz — \ pidxi= o,

^Z=:yP,-^X,-.

On aura donc ces nouvelles relations (75) [P,Z] = pP;, [X,Z] = o,

qui, jointes aux équations (74)? seront équivalentes à la relation (64).

269. Supposons qu'on ait trouvé un système de n-f-i fonctions indépendantes Z, X^-, satisfaisant aux relations

[X,X/,]rr:0, [X,Z]=:0.

On pourra déterminer sans [difficulté et d'une seule manière les n 4- I autres fonctions P/, p par les équations

dz Y P ^^^

^ ^z Y» ^ dXj,

Les 2/1 équations (67) et (68), qui doivent déterminer les n inconnues P/, forment un système surabondant; mais il est aisé de voir qu'elles sont toujours compatibles. On a, en effet, les identités

dX,,

dx,;

<[ui fournissent n relations distinctes entre les A/, B/; car l'un au moins des déterminants formés avec les éléments du tableau

dXj, dxi

diffère de zéro, puisque le déterminant A, qui est ime fonction linéaire de ces déterminants, n'est pas nul.

Ceci montre d'une part que, parmi les 2n équations (6*7) et ( 68), il y en a nécessairement n qui sont des conséquences des autres, et d'autre part que, parmi ces équations, il y en a

35o TROISIÈME PAHÏIE. — CHAPITRE III.

toujours n essentiellement distinctes, dont la résolution donnera les inconnues P^.