Considérons avec Euler l'équation plus générale

d'z , d'z (Pz

dx- ôx av ay-

a, 6, c étant des constantes.

Changeons de variables indépendantes, en posant

a, [^, Y, 8 étant des constantes.

On aura

dx ^; âr, dv â^ dr^

dx' ~ y d'^'^^' d-n) ' L'équation transformée sera donc la suivante :

+ 2[«aY-h ^(aoH-|3Y)-hcPo]

Soit en particulier

Xi et ).2 étant les deux racines de l'équation

a -h'2b\ -+- cl^ = 0.

Les termes en -^) j-^ disparaîtront, et 1 équation transformée, se réduisant à

aura pour intégrale générale

/et cp désignant des fonctions arbitraires.

Si l'équation en X a ses deux racines égales, les deux nouvelles variables 5 et tj ne seront pas distinctes. Le procédé J. — Cours, III. 23

précédent doit donc être légèrement modifié. On prendra,

dans ce cas, a=: i, '^ ='k et on laissera y et S arbitraires.

d'^z Les quantités a -f- bX, b -\- cX étant nulles, le terme en ^. !' ^ ^ di; dri

s'annulera; l'équation se réduira à

et aura pour intégrale générale

/(^) ^?{^U=A^ -\-ij)-ho{x-h Xj) {yx + S/).

274. La méthode précédente, convenablement généralisée, permet de ramener à une forme plus simple l'équation

.d'z .. o»- ^d'z -, ^-—' +2B-^ — - -hC-^— +M==o, dx- dx df df^

où A, B, G sont des fonctions de x^y, et M une fonction de

dz dz^ ^' ^^' ^' dx' df'

Soient, en effet, ^, r\ deux fonctions de x, y, que nous

prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aura

dz dz de, dz dr,

dx d^ dx dr\ dx

dz àf

dz d\ dz dr^

~~ d\ df dt\ df^

d'z dx'^~

d'z/d'^y d'z/dr^y d^'Z r)^ (>n "" d'ç' \dx) ' dci' \dx) ' ^ d;dr, dx dx

^ dz d'-\ ^ dz d'ri

d^ dx- dri dx^

d'-z dxdf "

d'z dl d\ d'z dri dri " dk' dx df ' dri'^ dx df

d'z ( d\ dri dv, dl\ dz a^^ dz d'ri

dUri \dx df ' dx df) ' d'ç dxdf dri dxdf

df' '

d'zfd'^y d'zfdriY d'z dl dri ~ d'C- \df) ' dri^ \df) ' ^d\dri df df

dz dn dz d'r,

"^ dl df' "^ dri df^

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura une transformée de même forme

c' = a(4^Vh-2b4^^h-c^^V.

où

d.r / dx dy \ày

Ces deux coefficients s'annulent donc si l'on prend pour ^ et 7] deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

^ ' \dx J dx dy \^f /

Le premier membre de cette équation est un produit de

, r . '\ ait ^ du ^ du , du ^ , , , deux tacteurs k~ h |^--r-? f^\ -^ H p-i ;p • l^n les égalant

séparément à zéro, on aura deux équations linéaires du premier ordre; leur intégration donnera les fonctions ^, 'r\, dont l'introduction comme variables indépendantes réduira la proposée à la forme plus simple

Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i) était un carré parfait; car Ç et y), déterminées par une même équation linéaire, ne seraient pas distinctes. Mais, en prenant dans ce cas, pourv), une intégrale de cette équation et, pour Ç, une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera ainsi que G^, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la forme