N w -}- Q = o, ox
ne contenant de dérivation que par rapport à x, deviendra^ pour une valeur constante dejKj une équation aux différentielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on déterminera aisément l'intégrale générale sous la forme
Ui étant une intégrale particulière et G une quantité constante pour y constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ailleurs arbitraire.
Substituons la valeur de m ainsi trouvée dans l'équation (4). Cette équation, ne contenant de dérivation que par rapport à jKî pourra de même s'intégrer comme une équation aux différentielles ordinaires, à la condition de remplacer la con-
stante d'intégration par une fonction arbitraire de x. On aura donc, pour ^, une expression où figurent deux fonctions arbitraires, l'une de Xy l'autre de y.
276. Supposons, en second lieu, que A soit différent de zéro. L'équation (5) donnera
I [du
dy
Tl/IAT 4 à"^
MN 4-A=: -r
ày
^(?logA^p ÔM
dy Ox '
-Q^^MQ;
(6) . = -l(^^N„-HQJ.
Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger,
A dy
dN N ^ '"ày A dy
dQ Qd A "^'-dy Ady
il viendra
, , d^u . du ^jdn ^^ ^
<7) 5^ + ^i'5^+^âP + P'" + Q' = °'
équation de même forme que la primitive. Si elle peut être intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z.
Cette intégration pourra se faire immédiatement si l'on a
A o àM, „ , . r^MogA ^ dis dM ox dx dy dy dx
= -r f h2A + -^ -HMN — P.
dx dy dy
Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons fait sur l'équation primitive; nous ramènerons son intégralion H celle d'une nouvelle transformée
d^v ,, di^ T.,di' „ ^
dx dy dx dy
laquelle pourra se faire si l'on a
O J\2 -3 3 h Al H r
o^ oy oy ojo
ox oy
Continuant de même, nous aurons un nouveau cas d'intégrabilité, si la quantité
est nulle, et ainsi de suite.
277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si l'on y permute ^ et M avec y et N, nous obtiendrons évidemment une seconde série de cas d'intégrabilité analogue à la précédente en formant successivement les quantités
