Problème de Cauchy. — Considérons plus géné
. ralement un système de fonctions inconnues U, V, ... des
variables f , x^ jk, z^ déterminées par un système d'équations
.(20) V^—vsi^t,x,y,z), V^, — i^,^t,x,y,z),
ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coefficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées partielles, et par les conditions initiales
: ()V \ pour t — G.
V=:cp(^,7,^), — 3:zcpi(^,7.^),
Posons, pour abréger,
;^(^ X) -f. (;(j fx) 4- «^(5 — V) :=:/?,
u^ v^ w, "kj ^, V étant des constantes, et
du dç dw d\ d]x di =:=; d^j.
Nous allons prouver que la solution du problème est donnée par les formules
OÙ le champ d'intégration par rapport à chacun des couples de variables ?/, X; (^, p.; t^, v est un rectangle infini ayant pour centre l'origine des coordonnées; T, 0, ... désignant
d'autre part des fonctions de t détînies : i° par les équations différentielles
(22) <R = nT(^, X, jx, v), ^i = t;7i(^, X, [j-, v), ...,
où <R, <R,, ... se déduisent de R, Ri, ... en j substituant aux dérivées partielles
les expressions
'^^ par les conditions initiales
Tr-/(X, [J., V), — r=/i(X, (X,v), ...J
(23) { ^^ / pour ^ = 0.
0=rcp(X, [X,v), — rrrcpi(X,[X, v),
Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (21) dans l'une des équations (20), la première, par exemple; comme on a évidemment
^^^.-L^-J^iue'pTd^, ^=:— ^-Q^W/'e^cT, dx {ir.y ij dx {2izY\J
le résultat de la substitution dans R sera — ^5 ^e'PS^d^
OU, en vertu des équations (22),
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSg
Or on a
gip-— giu(x—l) gi{>(y—\i) gitv(z— v)
=:: [cosu {x — X) + i<è\nu {x — X)] X [cosp {y — \k) h- iûnv {y — (x)] X \^cosw{z — v) -H is,inw{z — v)].
Effectuant les produits, on obtiendra huit termes qui tous, à l'exception d'un seul, contiendront un sinus en facteur.
Considérons un de ces termes, contenant par exemple le facteur s\nu{x — \). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront.
Au contraire, les éléments fournis par le terme
cosm(^ — X) cosv{y — \x) cosw{z — v)
pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des quantités m, v^ w seront égaux. L'intégrale (24) se réduira donc à
-3 V cosu{x~ X) cosv{y — ]x) cosw{z — v) w{t, X, (x, v) da,
//, V, w ne variant plus que de o à 00.
La double intégration par rapport à w, X donnera comme résultat, d'après le théorème de Fourier,
— V cos(^(/ — [x) cosiv{z — v) Tn(^, X, [JL, v)dçdwclxdv.
Intégrant par rapport à (^ et [Ji, on aura de même, comme résultat,
iS
ces w{z — V ) TîT ( ^j ^, j, V ) dw <5?V, et enfin, en intégrant par rapport à w et v,
tu
ce qui est précisément le second membre de l'équation aux dérivées partielles.
SgO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Les conditions initiales sont également satisfaites, car on a, pour ^ =: o, en vertu des équations (28),
et il suffira de changer tu en /, /< , ... dans les raisonnements précédents pour montrer que ces expressions sont respectivement égales k f{x^ r, ^), f^ {00^ y ^ z'^)^ ....
299. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans un sens. — Nous aurons l'équation aux dérivées partielles
dt ~ "" dx-^'
avec la condition initiale
U=/(^) pour^ = o, ^>o
et la condition à la limite
Uzziio[t) pour ^ =: o,
laquelle donne, en fonction du temps, la température à l'ongine de la barre.
On pourra poser
U' devant satisfaire aux conditions
U' = /(^) pour ^ r^ o, ^>o; U'=o pour ^=10,
et U" devant satisfaire aux conditions
U"==o pour ^ =r o, ^>o;
\j":zz'l^{t) pour ^ :^ O.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SqI
Calculons d'abord U'.
On satisfait à la condition U' = o pour x = o^ ainsi qu'à l'équation aux dérivées partielles, par la solution simple
smuœe'
et par la solution pins générale
/ sin uxe-'''"'^ F {li) du j
laquelle, pour t=^ o^ se réduit à
/ sinw^ F{u) du.
Il restera donc à déterminer F(?i), de telle sorte qu'on ait
J' smux¥{u) du-=^ f{œ) pour .2^ > o.
On y arrivera en posant
F(«) — § f sinu\/{l)dX.
Ou a, en effet,
^.00 .00 - / / sinw^ sin^X /(X) <iX
= - / / [cosw(^ — X) — cosm(^ -f-X)] /(X) <^,
et, en désignant par ^()^) une fonction égale à /(a) pour \^ Oy à. zéro pour X <C o, cette intégrale aura pour valeur
quantité qui, pour ^ >> o, se réduira à f{x) [en supposant /(^) continue].
La solution du problème sera donc l'intégrale double
Kf'f
e-^''^'-i[Gosu{cc — X) — CCS w(^ -r- X)] /(X) du dl
ou, en effectuant l'intégration par rapport à «, comme au
-^ f /(X)rfx[, a\/'Kt J Q
300. Passons au calcul de U'^ Ce problème se ramène au précédent, comme nous allons le voir.
Nous traiterons d'abord le cas particulier où cp(^) se réduit à la constante i. On aura, dans ce cas,
W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations
W =:— I pour ^ r-r. O, X > O ;
W — o pour œr=.o.
Cette dernière fonction s'obtiendra en posant /"().) = — i dans la formule (20). On aura donc
r îj^lZL'll! /• " (-r +).!'- -1
/ e '^-^ dX~ \ e '"''~dX\
Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet, de variables en posant, dans la première des intégrales cidessus,
lasjt et dans la seconde
ia\J t
Elles deviendront respectivement
ÉQUATIONS aux: DÉRIVÉES PARTIELLES. SqS
et auront pour somme
mais on a d'ailleurs
On aura donc finalement
expression que nous désignerons par yj^x^ t).
301 . Passons au cas général où 'f (^) ne se réduit pas à une constante. Nous allons démontrer qu'on a
:' (26) V"::^^{o)x{x,t)-\- f ySœ,t-\)o'{\)d\. .
En effet, 7(^, t) étant une solution de l'équation aux dérivées partielles et celle-ci ne changeant pas si l'on y change t en t — X, y^{Xy t — -X) sera encore une solution.
L'intégrale / y{x, t — \) ^' Çk) dl, prise entre des limites
constantes, sera une solution, et il en sera encore de même si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t; car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle de l'intégrale par rapport à ^ le terme x(^, o) ^'(t), lequel est nul dans toute l'étendue de la barre, d'après les conditions qui ont servi à déterminer la solution ')((^, t).
Donc les deux termes de U'^ sont des solutions de l'équation aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc
U" = o pour tzzzo, oC >> o.
^ or xr;
f TJNIVEB
Enfin, pour ^ = o, on a
et
Donc U'^ satisfait bien à toutes les conditions du problème.
302. L'expression (26) peut se transformer au moyen de l'intégration par parties. On a, en effet,
D'ailleurs ^(a)^(^, t — "k) s'annule pour "kz^ t, et se réduit à cp(o) '/(^i t) pour). -— G. On aura donc simplement
Remplaçons maintenant ;)((^, t — X) par sa valeur
on aura
et enfin
JX{X, t-\)^~ :
U"--=-:^ / e *«'('->>(^-X) "^■cp(X)^X. lasjTzJ f^
La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener le calcul de U" à celui de U' est évidemment applicable à tous les problèmes analogues.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SgS
303. Cordes vibrantes. — Considérons une corde tendue sur la portion de l'axe des x comprise entre o et /. Désignons par U le déplacement suivant l'un des axes coordonnés du point dont l'abscisse serait x dans l'état de repos. Nous aurons l'équation aux dérivées partielles
à laquelle il faudra joindre les conditions initiales
dV ^ , A pour trr=0, 0<X <l
et les conditions aux limites
Lj rz: o pour X z=0, U ~r; O pour ^ = /,
lesquelles expriment que les extrémités de la corde restent fixes.
Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équation (2^) est
U = <p ( ^ H- <2i ) -^ '^{x — at).
Il reste à déterminer les fonctions co et ({; de manière à satisfaire aux autres conditions du problème.
Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle de o à /,
ao'{œ) —a^'{x)r^f,{x); d'où, en intégrant,
a'f{x) — a^{x)=z j f^{x)dx -^ c
€t enfin
Z tl ^ A (Z
Uj'
^{x)^\J{x)-— \ f,{x)dx--~
D'ailleurs, U ne changeant pas quand on accroît la fonction cp d'une constante quelconque en diminuant d'autre part la fonction ^ de la même quantité, on pourra, sans nuire à la généralité de la solution, supposer c = o.
Les fonctions ^{x) et <J>(x) sont ainsi déterminées dans l'intervalle de o à /. Les conditions aux limites donnent d'ailleurs les identités
o{at)-h'\>{ — <2^) = o,
d'où, en changeant at en x,
cp(^) -^- <h{~ x) ■-- O, cp ( / -h ^ ) -4- 6 ( / — ^ ) = O.
Cette dernière équation donnera la valeur de cp pour les valeurs de l'argument comprises entre /et 2 l. En y changeant ^ en ~ X, elle donnera la valeur de 'h dans le même intervalle.
Enfin, en y changeant / en / -f- .r, il viendia
d'où
cp(2/-|- ^) =: cp(jr).
La fonction o admet donc la période 2/. Il en sera de même de la fonction
^{œ) --=: — cp( — x).
Les deux fonctions cp et ^j;, admettant la période 2/ et étant connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour toutes les valeurs de l'argument.
304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler, est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé de Bernoulli, que nous allons exposer, est, au contraire, l'application directe des principes établis au commencement de cette Section.
On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux
conditions aux limites par les solutions simples
. niTzx mizat . mtzx . rmzat sin — ' — ces ; — ? sm — - — sin — - — j
où m désigne un entier quelconque.
On y satisfera plus généralement par la série
. . niizx mizat Km sm — ; — ces h
. niT^x . m liât sm — - — sm — - — j
m prenant toutes les valeurs entières de i à 00.
Reste à déterminer les coefficients K^ et B;;^, de manière à satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette valeur de U, elles deviendront
A^sm-y- =/(^.
V^ rri'Ka
. mizx
B,nSm-y- r=:/i(^),
et l'on y satisfera (t. II, n° 238) en posant
. inizx a) sm — -— aa,
ro-îf.'
. mizct /i(a)sm— -^a.
305. Refroidissement d'une barre hétérogène. — Ce problème dépend de l'intégration de l'équation suivante
^ dt ~~ ôx dx
jointe à la condition initiale
(29) V=J{x) pour ^ = 0, ^>o <X
et aux conditions aux limites
k-j /î U =: o pour ^ =^ o,
A- -.— -h HU — o pour ^ — X.
SqS troisième partie. — CHAPITRE III.
La barre est supposée s'étendre sur l'axe des ^ de o à X; g^ k, l sont des fonctions de x^ positives dans toute l'étendue de la barre et représentant respectivement la chaleur spécifique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur chacune des sections transversales ; A et H sont des constantes positives.
On satisfait à l'équation (a8) par la solution simple
r désignant une constante et V une fonction de x qui satisfasse à l'équation linéaire du second ordre
Les équations (3o), (3i) donneront
(33) k-j AY=:o 25our^r=o,
dW
(34) A-L+HV=o pour:rr::^X.
Soient V, \" deux solutions particulières de l'équation (32); l'intégrale générale sera
et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34), donnera
On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations
par un choix convenable du rapport — si leur déterminant
est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous désignerons par7n(/').
Soient ;'4, /'2, ... les racines de l'équation rn^r) r= o. A
chacune d'elles, telle que r„, correspond une intégrale V„ telle que la solution simple
satisfasse à la fois à l'équation aux dérivées partielles et aux équations aux limites.
On y satisfera plus généralement en posant
et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si elle satisfait en outre à la condition initiale.
Il ne restera donc plus qu'à choisir les coefficients A, de telle sorte qu'on ait
'LPs.niN „i-~^ f{x) de ^ =:: O à ^ rr: X.
306. La détermination de ces coefficients repose sur une propriété importante des fonctions \ ,i, que nous allons exposer.
Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, désignons par V celle des intégrales de l'équation (32) qui satisfait, pour X =^ o, à la condition initiale (33). Ces deux équations pourront s'écrire ainsi
(87) k- AV = o pour^=ro,
en substituant aux différentielles ordinaires des signes d de dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V dépend non seulement de x, mais du paramètre r.
Donnons à ce paramètre une autre valeur j'. Soit V la valeur correspondante deV; on aura
(89) k -^ Il V ;=i: o pour œ —- o.
4oO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Retranchons l'une de l'autre les équations (36) et (38), respectivement multipliées par V et V; il viendra
~ da:[\ ôx dx ) \
et, en intégrant de o à X,
j(.'-.)pvr..= [.(v'g,-vg)];
car, pour x^=:OjV expression k I V -^ V -y— 1 s annule en
vertu des équations (3^) et (39).
Posons maintenant r=zrjn^ r' :=zrm i^m et /•„ étant deux racines distinctes de l'équation ^{r) = o; V et V se réduiront à Y ni et V/i, et l'on aura, pour ^ = X,
k'LL 4-HY = o, k-~ -hHV'=:.o,
— HY = o A-"^-
dx ' ôx
d'où
L'équation (4o) se réduira donc^ en supprimant le facteur
dx z:^0.
(40 f g^rn^n'
Soit, en second lieu, r = /-,;, /'= /'« + £> £ étant un infiniment petit. On aura
dx dx
'^ ' ()/• ôx Ox dx dr
Substituant dans l'équation (4o)j divisant par s et passant à la limite, il viendra
<'•) r.-.-"['-("rS-v.S.)L-
307. Nous allons maintenant établir que, si l'on débarrasse l'équation m(j^) = o des racines parasites pour lesquelles la solution V correspondante serait identiquement nulle, les racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et en nombre inflni.
i" Si TO(r) = o admettait une racine imaginaire rm^=0L-\~^i, elle admettrait sa conjuguée r„ =z ol — ^i. A ces deux racines correspondraient deux intégrales conjuguées Y ni^=^ p -\- qiy \ \ f^=zp — ^/, et l'intégrale
f g V,n V, d.X z:-. f g{p^-^q'')dx ^0 «- 0
aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puisqu'elle doit être nulle.
2" Si m(r)=:o admettait une racine double r, l'intégrale correspondante V^ satisferait, pour x = K, non seulement à l'équation
mais à sa dérivée
ri — r — = o
dx dr dr
On aurait donc, pour ^ = X,
dr ôx ôx dr
d'où
g\ldx=:0, '0
résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant positifs.
J. — Cours, III. 26
3^ L'équation tïj(/) ::^ o ne peut avoir de racine négative ou nulle.
En efl'et, si a-^o, / — rg sera positif dans toute l'étendue de la barre, et les équations
dN
(44) ^"7^ — /iV = 0 pOUr^r=;0,
(45) A^^H-HV==o pour^rrrrX
seront contradictoires.
En effet, l'équation (43), intégrée de o à :r, donne
(46) { = [/<V]„ + Ç {l~gr)\dx.
La fonction V varie avec œ en partant de la valeur initiale Vo; tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléments
de l'intégrale / (/ — gr)\ dx auront également le signe
dV de Vo; donc -j- aura ce même signe, et, par suite, V s'éloignera de zéro.
Il résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é-
dV loigne de zéro et conserve le même signe que -j—- Donc l'équation
dY
k -, 1- HV = o pour ^ = X
dx
ne pourra avoir lieu, ses deux termes ayant le même signe.
308. Les racines de Tn[r)=^o sont donc toutes réelles, inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en nombre infini. Nous y arriverons en étudiant l'allure des in-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ^o3
tégrales de l'équation (82) ou, plus généralement, d'une équation de la forme
où K et G sont des fonctions de x.
On peut remarquer incidemment que toute équation linéaire du second ordre
a,X' ^ clx
peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra
MP -y— -h MQ 5-^ -h MRV ^ 0
dx^ ^ dx
ou
dx
y- MF -1 h MO j~ h MRV -- o.
IX dx \ dx J dx
dY
Le terme en -7— disparaîtra si Ton pose
-d^où
dUF MF
>gMF
iJ'".
et enfin
M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MF r= K, MR =z G pour avoir la forme d'équation voulue.
On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par un changement de variable. Posons, en effet,
ax cLx 2 dx
dx dx 2 dx
dx dx dx- 1 dx \ dx )
Le terme en — — disparaîtra donc de l'équation transformée^
laquelle, divisée par K"% sera de la forme
dx-
309. Soit Vi une solution particulière de l'équation (47) r on aura
d^^dy, dx dx
K-V-' +GV,=:o.
De cette équation combinée avec (47) oïi déduit
, d ^ dY ^j d j^dYi
^ dx dx
et, en intégrant,
ou
dx KVJ
et enfin
(49) V=:cV,rj^+c'V,.
Supposons que K reste constamment fini et positif entre o et X. On déduira de la relation (48) que ¥< et -— ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5
valle; car on aurait c = o, et l'intégrale générale ne contiendrait qu'une constante c\ ce qui est impossible.
L'équation Vi = o n'admet donc que des racines simples, et la courbe j^ — - Y ^ coupera l'axe des x en tous les points où elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives;
, fdY,\ fdN,\ . , ,, . ,
les valeurs correspondantes ( — — et ■—, — de la dérivée
^ \ dx /oc \dx JR
dy, , ., , .
--;— seront évidemment de sienne contraire.
dx ^
Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on aura l'équation (48) qui, pour ^ r=^ a et ^ = p, se réduira à
Donc [KV]a et [l^VJs seront de signe contraire, et, €omme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe contraire.
Donc, entre deux racines consécutives de l'équation Vi ^==^ o, comprises entre o et X, il y aura au moins une racine de V^- o. Il n'y en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce théorème est évidemment réciproque.
310. Nous allons étendre cette comparaison aux intégrales V, V qui satisfont respectivement à deux équations différentielles distinctes
l d ^^ dY ^,,
\ -~K h GV =:z o.
] dx dx
f (50) ' , ry,
dx dx
Supposons d'abord que K' et G' soient infiniment peu différents de K et de G et que les différences K — Iv' et G' — G soient constamment positives entre o et X.
Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire telles qu'on ait
4o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
On déduit des équations (5o) -
ce qui peut s écrire dx
-f-Pv-K
dx [
,dsr
dx
VK'^l=r(G'-
dN dV G)VV'+(K-K')|^^
Or V et -7— î différant infiniment peu de V et de -7-? au-
ronl le même signe que ces dernières quantités; d'ailleurs, G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de cette équation sera positif de o à X, et la fonction
dj dx
dV dx
sera croissante dans cet intervalle. D'ailleurs elle s'annule pour ^ = o; elle sera donc positive de o à X.
Soit, maintenant, a une racine de l'équation V:== o comprise dans cet intervalle ; on aura, pour ^ =::= a,
donc [V']a et -y- seront de même signe.
Si y- > o, la courbe j =V traversera l'axe des x de
bas en haut au point jc — a (//>. 7); [V'J^ étant positif, la courbe jk=V^ infiniment voisine de la précédente, sera
située au-dessus d'elle et coupera l'axe des x en arrière du point a.
Si -7— << o, la courbe j^ =-V traversera l'axe des x en
descendant; [V']a étant négatif, la courbe jk = V' sera audessous de la courbe j^^ —- V et coupera encore l'axe des x en arrière du point a {fig. 8).
D'ailleurs, si l'une des fonctions V, V^ s'annule pour x =^0, il en sera de même de l'autre, par hypothèse.
Donc, à chaque racine a de l'équation V == o correspond une racine infiniment voisine a' de l'équation V'= o, laquelle sera un peu moindre que a; et l'équation V'=:: o aura en général autant de racines entre o et X que l'équation V= o.
Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X, car la racine correspondante de V tombe en dehors de l'intervalle considéré.
