Soient plus généralement deux équations
-^K^ +GV =0,
dx dx
dx^'-dx^^^^^'--''^
où les quantités Ki et K, Gi et G diffèrent de quantités finies, mais satisfassent toujours aux relations
(54) Gi — G^o, K — K,^o deoàX.
On pourra former d'une infinité de manières deux fonc-
4o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
lions Cj(x^r), cX(^,r) de x et d'un paramètre variable r, qui soient, la première croissante et la seconde décroissante lorsque r croît de Tq à r, (et cela pour toute valeur de x comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respectivement à G, K pour r= r^ et à Gi, K< pour r = r< . On pourra prendre, par exemple, ro= o, /'i -=: i ,
Ç (,r,,-)^G-Hr(G,-G),
Gela posé, considérons l'équation d dW
et désignons par Y (x, r) une solution de celte équation, déterminée par les conditions initiales
\ {x,r) r.-.a, \ ^dYix, r) > pour ^ = o,
a et b étant des constantes déterminées choisies à volonté.
Donnons successivement à r une infinité de valeurs Tq, W, . . ., /•^ variant progressivement de /'o à /-< .
Soient G, G', ..., G,; K, K', ..., K, ; V, V, ...,Y, les valeurs correspondantes de (/(x, r), D^c(.r, r), \ (x, r); nous aurons
- de o à X,
deux fonctions consécutives étant d'ailleurs infiniment peu différentes
Nous aurons, d'autre part,
dx dx
d dW
dx dx
d ,. dVy , r V
ÉQUATIONS ACX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^Og
el
,,dV ,.,d\' ^, dV, , pour^=:o.
IV r- K -y- —.. . -ssz Kl : - h \
ax dx dx^ ]
Si V= o admet une racine a dans l'intervalle de o à X, les équations successives V^^ o, V'= o, . . ., Yi = o admettront respectivement, pour racines correspondantes, d'après ce qui a été démontré, des quantités a, a', . . ., ai, telles que l'on ait
Donc, à chaque racine a de Y= o comprise entre o et X correspond une racine moindre a< de l'équation Vi = o. Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de racines que Y= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une des équations successives
est satisfaite pour x — - X, il s'introduira par là dans les équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas les précédentes.
L'excès A du nombre des racines de l'équation Vi = o sur le nombre des racines de V= o sera donc égal au nombre des valeurs de r comprises entre i\ et r^ qui satisfont à l'équation
312. Soient r'", r^^^ deux valeurs consécutives quelconques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X,
d\^ <iV'+^
dx dx
Lorsque V^ n'est pas nul, Y'+', qui en diffère infiniment peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précédente par la quantité positive V'V^+\ il viendra
dx dx ^
4lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
et, plus généralement, en désignant par H une constante quelconque,
dx duo
yt yt-i-i '■
Cette inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise de o à X et, en particulier, pour .r =:= X; elle montre que l'expression
3t(X,,.)^^XglZl + riV(X,r)
considérée comme fonction de r^ est constamment décroissante de 7o à r,, sauf pour les valeurs de r qui annulent son dénominateur.
Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par zéro ou par l'infini négatif, et ces zéros et ces infinis se succéderont alternativement.
Si 'f (i^o) 6t ^(/"i) sont de même signe, le nombre A' des zéros sera évidemment égal au nombre des infinis; si <f(''o)>Oî ?(^0<^7 il sera égal à A + i; si (f(ro)<o, co (r4 ) >- o, il sera égal à A — i .
Le nombre des racines de l'équation
Ot(X, /•) ^^ + HV (^^ r) r= o,
comprises entre /-q et r<, sera donc égal à A, A H- i ou A — i suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu.
313. Jusqu'à présent nous nous sommes borné à comparer des solutions correspondantes des deux équations différentielles
-j-K -, h G y =ro,
dx dx
dx dx
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLHS. 4u
Soient maintenant V et V^ deux solutions quelconques de ces mêmes équations.
Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^ de l'équation V=:o comprennent au moins une racine de l'équation Vi = o,
En effet, soit V'^ une solution de la seconde équation, telle que l'on ait, pour x = cl,
dV dY
^ da; dx
A la racine p de V=:=: o comprise dans l'intervalle de a à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une racine j^'^ de V'^ = o comprise dans le même intervalle et moindre que p. Mais V< satisfaisant à la même équation différentielle que V'^, entre les deux racines a et ^'^ de V', = o, il devra se trouver une racine p< de V< = o, ce qui démontre notre proposition.
314. Les considérations précédentes permettent de fixer dans une certaine mesure le nombre et la position des racines de l'équation V= o comprises entre o et X, V désignant une solution de l'équation différentielle
dx dx
Soient, en effet, k^, g^ et k^ , ^2 les plus grandes et les plus petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons les équations auxiliaires
d j dW, .. , d^y,
d^^'Tûc ^^'^'''-^'-Tx^
(55) or=.-^^^k,-,^-^g,y,.^-k,--J-,-g,Y,
,.., d j dW, ^. . d'Y, ^.
Yi et V2 étant des intégrales quelconques de ces deux équations, deux racines de V=o comprendront entre elles au moins une racine de V, = o, et deux racines de Vo = o comprendront entre elles au moins une racine de V=:= o.
Or, si g^ est positif, les iatégrales de (55) seront de la forme
Vi — c sin i /|^ t -h c'cos \/ jr t.
L'équation Vi ^^ o a une infinité de racines équidistantes et dont la différence est tt^ / -^. On peut d'ailleurs déterminer
le rapport des constantes c, c' de telle sorte que Vi s'annule pour une valeur a arbitrairement choisie. Si donc on prend,
entre o etX, un intervalle quelconque d'amplitude << "^l/ — '
on pourra déterminer Vi de telle sorte qu'elle n'ait aucune racine dans cet intervalle; donc V ne saurait en avoir plus d'une. Donc la distance de deux racines consécutives de
