Revenons maintenant à Téquation

Désignons par V(^, r) une de ses solutions qui satisfasse à la relation

k —- — A V = o pour X -=.0.

On a vu que, si r = o, cette fonction et sa dérivée ne s'annulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc

/cf + HV

dœ ^ >> o pour ^ = A, r r— o.

Si donc r varie de o à une valeur positive R, gr — / croissant constamment pendant ce changement, le nombre des racines de l'équation

o^=:-u^{r) ^= k-j h HV pour^izrX,

comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A -|- i , A désignant l'excès du nombre des racines de l'équation

sur celui des racines de V(^, o)=:o dans l'intervalle de o àX.

Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le nombre des racines de V(^, R) = o.

D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par

-Tti /■ — Yv~ — F' ^^2; h désignant les plus grandes valeurs de A", /, et g.2 la plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X.

4l4 TROISIÈME PAUTIIÎ. — CHAPITRE III.

Or il est manifeste que E croît indéfiniment avec R. Donc l'équation m{7^)=: o admet bien une infinité de racines.

316. Gela posé, nous avons vu (305) que le problème du refroidissement de la barre revient à choisir les coefficients A;;^, de telle sorte qu'on ait

2A„,V,„ = /(^) de ^0 à X.

En admettant la possibilité d'une solution, il sera aisé de déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équation par ^V„ et intégrons de o àX. En vertu des relations (40? tous les termes de la série où m^n donneront une intégrale nulle, et l'on aura simplement

A, r gyidœ^f gy,f{x)dx.

Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefficients, nous obtiendrons la série

f g\,f{œ)dx

" f g\ldœ

Si cette série est convergente et a bien pour somme /(^) dans tout l'intervalle de o à X, le problème sera résolu; mais, pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer directement la série. Ce résultat n'a encore été atteint que dans quelques cas particuliers.

317. Équilibre de température dhine sphère homogène. — En désignant par r le rayon de la sphère, nous aurons l'équation aux dérivées partielles

(^^U d''\} (^-U ox- oy- ôz-

ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES PAlîTIELLIîS. qlS

avec la condition à la surface

l]--¥{^,y,z) pour x^^y^-\- z^-=r^.

Posons

^ =ir p sin6 cost];, j-- rr= p sin 6 sin 4», 2 = p cosO.

Nous avons vu (t. II, n^ 236) qu'on satisfait à l'équation aux dérivées partielles par la solution simple

Y„ désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un polynôme homogène et de degré n en sinO costj;, sinQ sin^j;, cosô, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles

d^^ sm-0 O^-" oO

Le polynôme Y^ ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/z-h i constantes arbitraires dont il dépend linéairement.

En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme nouvelle solution la série

A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à

Vy„.

Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Yn-, de telle sorte que cette valeur soit égale à l'expression

F(r sin6 cos4', /•sinôsin^', a'cosO),

que nous représenterons, pour abréger, par /(9, ^).

Or nous avons vu (t. II, n°^ 243 et suiv.) qu'on arrive à ce résultat en prenant pour les Y^ les valeurs particulières sui-

4t6 troisième partie. — CHAPITRE Kï.

vanles

où

P,, ■— X,, (cosy) = X,, [cosO cosO' -t- sin6 sinO' cos('J; — <]/')],

X;^ désignant la fonction de Legendre.

318. Cette solution peut se mettre sous une forme plus élégante.

Remarquons, à cet effet, que la fonction générale Y„ est une somme de termes de la forme

Aa- sin^'tj; cos'^'<]; sin''-t-'^8 cos"-''"'^ô.

D'ailleurs le produit sin^ J; cos^tj; s'exprime linéairement au

moyen des sinus et cosinus des arcs (i-^/-c)à, {i-j-k — 2)'li,

Parla substitution de ces expressions, Y^ prendra évidemment la forme

OÙ

0;„„ =: sin^^OV, e;,^ = sin^'OV",

y et V étant des polynômes en cos8 etsin^ô, qui se transformeront en polynômes en cos8 si l'on y remplace sin-0 par I — cos-Q.

Substituons le développement précédent de Y,; dans l'équation aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chassons les dénominateurs ; il viendra

o =y I sin^O ^^ -h sin6 cos6 ^^ -i- [/z(/z + 1) sin^O- m^]e',^„ l cosm<l>

-f-V I sin28 ^^^^ -f- sinO COS.Ô ^^ + [n(n -+- 1) sin^O - m^]e"„,n j sinm^^.

Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut

évidemment que les termes qui contiennent le sinus et le cosinus de chaque multiple de J; s'annulent séparément. Donc chacun des termes de Y/^, pris à part, sera une solution de Téquation, et 0,,^/^, 6/,^,^ seront des solutions de l'équation linéaire

Posons