Vsin'«e

nous obtiendrons une transformée en V

sin- 6-;—- + (2m -H i) sinÔ cosO— ^

-I- [n{n -^ i) — m{ m H- i )] sin^ 6 V m o,

à laquelle satisferont V et V'^

Prenons enfin cosô = p. pour nouvelle variable indépendante; nous aurons une dernière transformée

( H- [ai(/i H- i) — m(m + 1)] V = o. Cette équation se lie intimement à l'équation connue

à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X„([a).

En effet, différentions m fois cette dernière équation; on

obtiendra, pour déterminer —r-^-^ une équation identique a

(S^). Les intégrales de (5^) sont donc les dérivées ^ï'-n^es ^^^ intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le polynôme de Legendre X„([ji).

Les polynômes V, V", qui satisfont à (5^), se réduiront

1 1 > r > ^ d"'X„(ll)

donc chacun, a un tacteur constant près, a • — -,—— ^ et les j. — Cours, III. 27

4l8 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE III.

fonctions

0;,, = v^sin'«e, e';,„ = Vsin-o

seront égales, à des facteurs constants près, à l'expression

in-\-ii

^^ ^ ■ dix'" 2'^I .1. . .n d\x

que nous désignerons par P^"(p.).