Gela posé, nous aurons

et il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte qu'on ait

^^ ^n=S y'p;f([x)[A,„„cosm^-4-B^„sinm4;]=:/(ô,4;).

Multiplions cette équation par cosfii^ d^, et intégrons de o à 271; en remarquant qu'on a

I cos m <\i sin m' <\> d'\i =r: o ,

^27u / o, si m 5 m'

/ CCS m <\i CCS m' 'i^ d<\) =. ' u, si m r=z m' >- o,

TU / o, si m ^ m',

" [ 2 7r, si /?Z 1= /?l' zn: o,

viendra

\ni étant égal, en général, à i , et à 2 si m = o.

Multiplions cette dernière équation par VJ^ {^) d\k et intégrons de — I à i, en remarquant que

P+\ l o, SI /i > n'y

J-i j ^ '- , SI n =: n\

{n -^ m)l 2 /^ -M il viendra

On trouvera de même

Substituons ces valeurs des coefficients A et B dans l'expression (09) de Y fi et réunissons tous les termes sous un seul signe d'intégration, après avoir changé les variables d'intégration 0, (J;, m. en 8', ^' , ^' pour éviter toute confusion ; il viendra

X P;" (,».) P;f ( [).') cos/n(^ — >!,') dij' d^. Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valeur

Y„= ^^-|- f^ffi^'' V) P« si"»' dO' d^',

OU, en prenant cosO'= ^' pour nouvelle variable d'intégration,

La comparaison de cette valeur avec la précédente donne J'égalité

j^o n -h ml K,^

qui permet d'exprimer la fonction

P„=:X„ (cosy) -^X„[[.ix' 4- v^i - [x^ s/T-lT^ cos(^ - -y )]

par une somme de produits de trois facteurs, dont chacun ne dépend que de l'une des variables jj., \)J ^ ^ — ^j;'.

321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En effet, P„, considéré comme fonction de 0 et (L — ^j>', est une fonction de l'espèce Y,, ; elle pourra donc se mettre sous la forme

P.-::^^P;r(H^)[A,„„cosm(4;-f) + B,,„sinm(J.-4'')], où les coefficients A^mn-) B^« ne dépendent plus que de \tJ.

D'ailleurs P« est une fonction paire de ^ — '\'] donc les coefficients B,„;^ seront tous nuls. De plus, P„ est symétrique en [X et pi'. Donc A,;^,^ sera égal à CrJ'n^l^')^ ^^ désignanl une constante.

Nous trouvons ainsi

iGo)

p.=^^.. p,?(i^) p;r(:^') ces m (6 - y)

et il ne reste plus qu'à déterminer les constantes Cm-

A cet effet, nous égalerons les valeurs principales des deux membres lorsque l'on y pose [ji— [a'= ^; faisant, pour abréger, h — (j/'^ o, la quantité

0057— {XJJ.'-;- \ll—]y\l\— IJ.'^ COScp

se réduira sensiblement à

[i.- ( I — ces cp ) — 2 sin- -- cp . a' ,

X„(cosy)

1'^ n\ dcos^

~'i"ii\

- (cos^^-i)'^

cos'^ Y

aura pour valeur principale

ijiiin — i)...(^-4-i) . 2. I 2/2 n\ 2 ^ '

Mais

( 2 iY"- sin-'' - o =: U 2 ^ — e ^ )

COS/l

I in{in — i)...{n^\y\

D'autre part,

La comparaison des termes en ix'^ cosmo dans les deux membres de l'équation (60) donnera donc, en posant Xn—~ 2

si m>o, Irr,—

SI m = o.

ni {2if"' X,„ ^ ^ (/i — nij.

d'où

322. Equilibre de température de T ellipsoïde. — Nous devons satisfaire à l'équation

dx\ dx\ dxl et à la condition aux limites

(62) U--=F(^i,^2, ^3) pour Â^ "^ ât' "^ A" ~^*

Posons

Aj Aq -<?1, A2 -— Aq ■ ^2, A;} — Aq (?3,

L'équation de l'ellipsoïde deviendra

Kq — e^ Ao — ^2 ^0 — ^3 Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait

Par chaque point de l'espace passent trois surfaces du second degré liomofocales

A — ec, A — e-^

(t. I, n° 533), orthogonales entre elles; leurs paramètres \^

)v2i ^3 satisfont aux inégalités

e2< X2< e3< X3< ei< Xj.

Réciproquement, à chaque système de valeurs de ces paramètres satisfaisant à ces inégalités, correspondent huit points réels, ayant pour coordonnées