On lèvera cette ambiguïté en posant

X,"PW1, >^2^=P«2, X3=P«'3'

On a, en effet, d'après les notations adoptées dans la théorie des fonctions elliptiques (t. Il, n°^ 367 et 371).

\/pU-~ eoL=^OL0Ui Ua— 4-

(63) ^a^-'^^l^aol^i'^aolh'^aofh (a=:i,2,3).

Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées, nous convenons de prendre partout le signe -f-, à chaque système de valeurs de «<<, 112, 113 correspondra un seul point

Cherchons comment on devra faire varier ?/,, 112, ih pour obtenir une fois chaque point réel de l'espace. Posons, pour abréger^,

La première période

sera réelle et positive, et la seconde période 20)0 sera pure-

^'if\ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

Si Al varie de e^ a <?3,

dll,:=:^ -r-=

sera réel, et w, (ou du moins l'une de ses valeurs) variera en ligne droite de Wo à ojo -f- ^i-

Si Xo varie de e^ à et, diu sera purement imaginaire, et l'une des valeurs de «o variera en ligne droite de CO3 à

Enfin, si A3 varie de 00 à e<, du^i sera réel, et l'une des valeurs de W3 variera de o à o)^.

On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admissibles pour X,, Xo; ^3 et, pour chacun d'eux, un seul des huit points ^<, ^o? -^3 qui lui correspondent, en faisant varier, en ligne droite ^

Ui de Wg à W2 -+- ^i-< u^ de W3 à 0)3-4- CO2, W3 de o à co].

Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant les signes de ses coordonnées.

On les obtiendra tous et chacun deux fois, en faisant varier u^ de 0)2 à 032 + 4^1 et u^ de 033 à (1)3 4-4^0.

En effet, les relations

(t. II, n° t371) montrent que l'on a

si u' -\- u ou u' ~ u est une période. Or, à chaque valeur u^ de M, comprise entre Wg et Wo + w^ , correspondent, dans l'intervalle de W2 à (1)2 + 4^n ^ï'ois autres valeurs de ce genre.

A chaque valeur U2 comprise entre 033 et (O3 -[- tt>2 correspondent de même dans l'intervalle de 0^3 à (1)3 4- /\ix)2 les trois

valeurs associées

Les i6 points

auront au signe près les mêmes coordonnées zhx^^ —^21 zb^';{. On vérifie aisément que chacune des combinaisons de signes est reproduite deux fois. Ainsi («, U2U2) représentera le même point de l'espace que (u\ u^u-i), {u^ u-^u^) le même point que {u\ u^ 11^)^ etc.

324. Ces préliminaires posés, prenons u^^ u^-, u^ pour variables indépendantes, et cherchons la transformée de l'équation difTérentielle (61); on a

^ d'il du/r dui V^ f?U d-ii;, d'où

Zda-àxl " Zjk à (il ZuaKàXa)

^k,i àuk àui ^ja àxy dxa ' ^k àuj. Zua. (^^l Reste à calculer les sommes

^rj^\dxa.J Là^ox^ dx^ ^^

ia àxi Or on a

duk du,, d\k I 0\k

à xi 4 (yx^.)l \àx^} i\Jf\k ^-^a

d'où

ÔJ^c

V^ duj; dui 1 V^ d^k à'k/

^a àj^a à^oL ~~ [^\Jfk,c s/fki Zà^ ^-^a ^-^'a'

2ja àx^ ' 2v//Xa: L 2 /À/, Zjrx \àxj Zu^ àxl I

Or^ les surfaces X;^ = const., a^ =^ const. se coupant à angle droit, on a

<a OX^ Ôx^ D'autre part, en dérivant par rapport à x^i l'équation

kk — e^ Ayt — (?2 f'k " ^3 et posant pour abréger

il viendra

IXrjL r. àlk

>^yt — ^a ' dXa

d'où

D'ailleurs si, dans l'expression de S/f, on remplace chacune des quantités x^ par sa valeur

(Xt— ea)(X,— ga)(X3— gg)

(e^ — ea)(ey — ea) il vient

g ^ Y {h-ea){K,- ea) ^ (X,-X,0(X,,-X,.) ^

d'après la formule connue de la décomposition en fractions simples (/, m désignent les deux indices de la suite i, 2, 3 qui diffèrent de k).

On aura donc

Enfin l'équation ( 64) dérivée deux fois de suite par rapport à x^ donnera, en posant pour abréger

ix^ dlk /'^'^/A't- ^'^

Mt^ T,- VfS,

^k — ^Oi C^/C — 6ot.y dXo(. \OXrj^J ' ^^1

8^i I , ,/^Yt,^.--^-!^S..

>^/c — ^a (A/r — ^a)^ S;t \dXo,J dxl

Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67),

Comparant cette équation à la précédente,

à'kkY 4

[âXoiJ S;t'

il vient

' 2 Jlk 2joL\àxo,J ' Zuxàxl

et, par suite,

L'équation différentielle transformée sera donc

ou, en chassant les dénominateur et remplaçant )^,, X^^ A3

par jjwi, pu.2, pu-i,

(68) {pu2—pih)-^, -.-{pu^—pa,)-j^^--\'{pu,-^piu)--^ — o.

325. Quant à l'équalion à la surface, il est aisé de la former. Soit u la racine de l'équation

p a — Xo,

comprise entre o et toi ; on obtiendra les points de la surface de l'ellipsoïde, chacun deux fois, en posant ^^3 = u et faisant varier ii^ de ojo à W2 + ^^^^o '^2 de 0)3 à 033 + 4^^^2- La température en chaque point de Ja surface étant donnée, on aura, pour u^z=z\)^

(69) JJ =z^{u,, IL,),

^ étant une fonction arbitrairement donnée de Ui = 0)3 à u^ c=r Wo -H 4ti><7 et de U2 = W3 à u.2= ^3 -j- 4^2- (Elle devra d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux systèmes de valeurs de Ui, 112 qui représentent le même point.)

326. On peut aisément trouver des solutions simples de l'équation aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu, en effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on peut déterminer 2/2 + 1 valeurs de la constante h telles que^ pour chacune d'elles, l'équation de Lamé

^^ —ln{n-\-i)pu^/i\x^o

admette une solution particulière

M(«)=rNP

qui possède les deux périodes 4^4 et 4^.t Posons, j)our abréger,

Le produit MiMoMa satisfera à l'équalion aux dérivées partielles; carie résultat de la substitution sera

MiMaMgN [/i(/z + i)j3Wa + /0(P"? — P«y)'

quantité identiquement nulle.

Cette solution simple, exprimée en fonction de ^, , x^-, x^ sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs de la forme o'aoW, NiNoNg sera un produit de facteurs tels que

D'autre part, P<PoP3 sera un polynôme entier et symétrique par rapport aux quantités j3Wi, ^i^i-ii p^^3- Or celles-ci sont les racines de l'équation du troisième degré

dont les coefficients sont des polynômes entiers en x^^

Xo j X^ .

327. En associant les solutions simples qui précèdent, nous obtiendrons une série

""c^-Mf M'/^Mf

qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peuvent être déterminés de manière à satisfaire à l'équation de la surface

(70) Vc^.MfM^/'m^/) = *(«,, u,),

m^^^ représentant la valeur de M'.j'^' pour a^ =^ u.

328. En admettant provisoirement que la fonction <E> soit susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé d'en déterminer les coefficients.

43o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

Multiplions, en effet, l'égalité (70) parM^/' M'^' (pUi — pwo) et intégrons par rapport à Ui de (O2 à Wo -h 4^i5 et par rapport à U2 de CO3 à (03 + 4 Wo ; l'intégrale double

Q Mf M'/'M^^ M^"' {pa, - pii^)duidu.,

qui multiplie Ckm[^\ est le déterminant des quatre intégrales simples

\, ^^ Al^^'' M['''pu, du,, 12==/ M^^'^ Mf pW2^«2,

Ji= Al'/' M'/' Ji^i, J2= / M'/^ Mf «?a2,

Ce déterminant est nul si i^k.

En effet, M^'\ M^^^ sont solutions de deux équations de Lamé différentes, telles que

da'-

d-M(^'^ du-

On en déduit

[n {n -i-i)j3w4-A]M(^)=:o, [,i'{n'-ri)pU'.-/i']M^'^-^ = o.

[n{n-A- 1) - n'{n' 4- i)]M^^)M(^^> pu -h {h - /i') M^^'JM^''^-^ ~- M(^^'^ —7-^ M(^^ - , ,

du L du du J

Intégrons de cl>2 à 102 + 4^1 • l^es fonctions M admettant la période 4^i, l'intégrale du second membre sera nulle, et il

viendra

[n{n -f- 1) — n'{n' -i- 1)] Ij -f- {h -- A') J, == o.

Intégrant de tog à (1)3 + 4f»^2 on trouverait de même

[n{n -t- i) — n'{n' 4- i)] I2 + (A — h')J^ — o, d'où

à moins qu'on n'ait à la fois n = n', h — //, d'où i — /c.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. /^Sl

Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i =^ k. Les fonctions M^^^W'^pu, M^^^M^^^ admettent les périodes 2C0i, 20)2; elle sont paires et n'ont de pôle que pour u=^o. Décomposées en éléments simples, elles seront donc de la forme

^{k) ^{k) pi^ — a^k „ ajpw 4- af p" «-{-...,

M(^)M(^^ = p^^--r- Pjp« -i- ?tp"u-h. . . . Intégrant de co^ à 0)2 -t- 4^n i^ viendra

En intégrant de 033 à 0)3 h 4 ^21 on aurait de même

I2 — Aa^Wa — 4aJ-/]i, 5^ — l^^^^' oi^ — 4Pjri2,

et, par suite,

On aura donc, pour déterminer c/(, la formule 8 TT /(a/^- [3 J - a J p/^- ) m'/^' c, :.. ^ * Mf M^^^' (pu, -pu,) du, du,.

329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire <I>(;/i, ^^2) admet effectivement un développement de la forme (70). jNous y parviendrons par les considérations suivantes :

Soient ^4, ^27 ^3 et r, w,, Uo deux systèmes de variables liés par les relations