X -/•U^o' u c! u -ri /(P^^-^°^)^y

On en déduit aisément

432 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilï.

Ces équations représentent une sphère et deux cônes homofocaux, qui se coupent à angle droit.

A chaque point réelxi, Xo, ^3, correspondent: i'^ une seule valeur de /*; 1^ deux racines de Féquation

dont la première, X, =^pu^^ sera comprise entre e^ et e^ ; et la seconde "k^ = pif2 entre 63 et e^ ; 3" deux systèmes de valeurs de Ui, U2 tels que Ui soit compris entre CO2 et (1)2 + 4^1, et U2 entre 0)3 et 0)3 -}- 4 Wo.

Réciproquement, si le point (?^,, U2) parcourt le domaine ainsi défini, le point (^i, ^o? «^s) décrira deux fois la sphère de rayon r qui a l'origine pour centre.

330. Si l'on prend r, w<, U2 pour variables indépendantes, l'équation du potentiel

V — -o se transformera en ^^U Y / Or Y ^ ^ Y l^^illY , ^ V /^^^2 Y

dr du^ Zuàx^ dxy.

Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les surfaces r = const., «, = const., W2 = const. étant orthogonales, on a

V^ dr âui

^ dxa. âxa, ' ' * * ' L'équation

x^ — r-^ d'où

donne, d'autre part,

D'autre part, les équations donneront, comme au n° 324,

en posant, pour abréger,

. f\ ~- (X - e,){l - e,){l - c), S, :=:y TY-^Vr '

Aj (Xi — ea)'

Or on a ici

C ^2 \^ A2 gg ^ A^^ Al

^" Z^ (^p— ^a)(eY — ea)(>^i — ^a) ~' 7>^i On a donc finalement

diii \- I I

On trouvera de même,

ZjXàJ^-aJ ~ rMp«i— (P"2)' ii"^"^*

L'équation du potentiel aura donc pour transformée la suivante :

âr' ' r^(pu2 — piii)\àul dul) r dr J. — Cours, III. 28

OU

Cela posé, on sait (t. II, n° 236) que pour chaque valeur de l'entier positif n il existe 2n-[-i fonctions Y,^ linéairement distinctes et définies par cette double propriété :

i" Les fonctions r^Yn, (où r = \/x' -i-y^ -i- z-) sont des polynômes homogènes d'ordre /i en ^4, x^, x^; 2" ces polynômes satisfont à l'équation du potentiel.

Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de n correspondent 2n + i valeurs de h pour lesquelles l'équation de Lamé

admet une intégrale doublement périodique de la forme