M=:NP

Les produits correspondants

MiM2 = N,N2PiP2

seront précisément les 2/i--r-i fonctions Yn exprimées au moyen des variables ?/<, 112-

En effet, soit /rie degré du polynôme P; Ni N2 sera un produit de n — k facteurs tels que

uâ /

D'autre part, Pi P2 sera un polynôme en pUi, pu^ symétrique et de degré /i par rapport à ces deux quantités; ce sera donc un polynôme d'ordre n en pii^ pu2 et pu^ -^ pu^» Mais les équations

permettent d'exprimer les quantités

puipii^, pui-i-pui, I en fonction linéaire et homogène des trois quantités -^•

Donc la fonction r^M^Mg^U sera bien un polynôme homogène et de degré n en Xi^ X2j 0O3. Il reste à s'assurer qu'elle satisfait à l'équation (71).

Cette vérification est immédiate, car on a

du

/■- -T— ,- + 2 /• -T— -:=-- n ( Jl — i)UH-2/zU = /z(/2 + i)U.

ôr^ Or ^ '

Le développement de la fonction arbitraire ^ en une série de termes M,, M2 sera donc possible, aux mêmes condition,^ que le développement en série de fonctions Y„ ; ces deux développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de l'autre que par le choix des variables indépendantes.

331. Refroidissement d une sphère homogène. — Soit r le rayon de la sphère; nous aurons l'équation aux dérivées partielles

dt ~ \ôx^ ^ ày' ' âz-'J' avec la condition initiale

U — / pour ^ = 0. ^2 ^ ^,2 ^ ^2 ^ ^5 .

/étant une fonction donnée de ^, y, z, et la condition à la surface

-K— cosa-h-r— cos(i4--^coSY+riU — o pour ^- H- y^ 4 ^2 __ ,.2

a, |3, y étant les cosinus des angles formés par la normale extérieure avec les axes coordonnés.

Remplaçons ^, y, z par des coordonnées polaires p, 8, ^. L'équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n*^ 139).

(?U „/f)-U I d^U I (^2u 2 ^u cote (?U\

(72) ^^ ^\àf "^p^sin-ô (^f^"^p2 (^0^ ' ^ ô^ ' f à^ j

La condition initiale prendra la forme

(78) U -r^/ pour ^r=:o, p < A-,

et la condition à la surface deviendra, en remarquant que l'on a

àx . dy dz

cosaz=— —, cosp=~? cosy = -rr->

ùo dp ' dp

(74) -j hHU = o pour pzizr.

332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse aux équations (72) et (74)? posons

p désignant une constante, Y„ une fonction de Laplace et R une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on aura chassé les dénominateurs et supprimé les facteurs communs.

(76) -1 hIiR = o pour p = /\

L'équation (70) rentre dans la catégorie de celles que nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle admet, comme solution particulière l'expression

ip?) ^^„Ap?)

que nous désignerons par F/j(/?p). Cette fonction est le produit de p"p^ par une série, procédant suivant les puissances entières de />^p^.

Il reste à satisfaire à l'équation aux limites (76). Il faut pour cela que p soit une racine de l'équation transcendante

Le premier membre de cette équation est évidemment une fonction entière de p^ si n=o; une semblable fonction, multipliée parp", si /2>>o; supprimant, dans ce dernier cas, la racine parasite yo = o, qui ne fournirait qu'une solution identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une équation de la forme

(77) tîT„(/?2)=0.

La fonction F,i{pçi) s'annule évidemment pour p := o si/i>>o; et, sin = o^ sa dérivée s'annule; on aura donc, dans tous les cas, en désignant par p et q deux valeurs quelconques du paramètre/?.

et la même relation aura lieu pour p = /-, si p et q sont racines de l'équation (77).

L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équation (36) considérée aux n"^ 306 et suivants, dont elle se déduit en remplaçant V, x^ /', X par R, p, p"^^ • et donnant kk^ g^ l les valeurs particulières p^, p^, n{n~\-i). On en conclut :

i*^ Que les valeurs de p^ qui satisfont à l'équation GT/j (/)2) =: o sont toutes réelles, positives, inégales et en nombre infini;

2" Qu'en désignant par p^, ^-, . . . ces racines, l'intégrale

f 9'^n{p?)F,{qp)dp,

438 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITHE lU.

sera nulle, si p^ diffère de q-\ soit, au contraire, q ^=zp] or»

aura

'"'" L (^P' àr ^ ''^^' ^ ~ô77)p' J

- ^ \à¥n{pr) àF^ipr) __ d'FApr)']

~'2pl dp Or 'nKpn ^,.^^^ J-