Posons, d'autre part, comme au n

cosu-fx, r„(H-)- ^.,,^, ^^„,^„

On a vu que PJJ^([j.) cosmd;, PJJ^([jl) sinwi^ sont des fonctions Y,i\ on satisfera donc à la fois à l'équation aux dérivées partielles et à la condition à la surface par les solutions simples

c-«^/'''P;'/([i.)cosm4;F,(/;p),

e-«V^P;r(^)sin77zi;F,(/?p),

et plus généralement par la série

222e-V^^P;f([j.)(A,,,^cosm-J;-hB,„„^sinm6)F„(/?p),

où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations s'étendnnt :

i" Celle par rapporta /z, à toutes les valeurs entières de G àoo; 2° celle par rapport à m, aux valeurs entières de o k n\ 3° celle par rapport h p, k toutes les racines positives p de l'équation Tn,i{p-) ~-= o.

334. Glierchons à déterminer les constantes A, B, de telle sorte que la série satisfasse à la condition initiale

(78) 22SP^((x) A,„„^ cosm^ + B„,„p sin 7nà) F„(/?p) =^ ,

pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire pourpJo<]r, [ji^ — i^i, ^^o^2iz.

Soit m', /i', p' un des systèmes de valeurs associées des paramètres m, n^ p. Pour déterminer Km'a'p'i multiplions l'équation (78) par cosrn'^'^^^ et intégrons de o à 271. Tous

les termes du premier membre donnent une intégrale nulle, sauf ceux qui contiennent cos/n'^j;. On a, pour ceux-ci,

r'^'^ , ( I, si m'>o,

il viendra donc

Multiplions cette égalité par Pf (p-)^p. et intégrons de — I à — I. Tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle (319), sauf ceux où /^ = n', pour lesquels on a

il viendra donc

/ / /C0Sm'4;P'„'^'(!J.) d^ dix — ^Kn'n'pXn''^yi^'n'^{P9),

d —\ Jq

la sommation ne s'é tendant plus qu'aux valeurs de p correspondant à la valeur n! de l'entier n.

Multiplions enfin par p^F(/?'p)c/p et intégrons de o à r; tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle, sauf celui où/? =/?', et l'on aura finalement, pour déterminer Am'n'p', l'équation

ff f f cos m' ^V';^:{ix)p^-¥{p'p)d^ dix dp

On trouvera, par le même procédé, pour déterminer ^m'n'p', l'équation analogue

nf fs\nm''\>P';;\\ix)p'^F{p'p)d'^dixdp 1 do

ni'ji'p' ^m'^ *-n'n' ^^p'p'

Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous venons de trouver pour les coefficients, et accentuons les variables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambiguïté sous les signes d'intégration les facteurs qui leur sont extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U l'expression

(79) { ^uZjlii L, i

>cp''F^{pp)¥,,{pp')dydi.'dp'.

335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les termes de cette série triple dans un ordre convenable, on trouvera bien pour somme /((}, a, o).

Laissons d'abord n et m constants, et bornons-nous à faire varier p de manière à lui faire prendre successivement pour valeurs les diverses racines positives de l'équation

supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous aurons à déterminer la valeur de la somme

(80) '^J''f^ï^ll}^'^F„ipp)F,.{pp')d?',

pour les valeurs de p comprises entre o et r. Nous verrons qu'elle est égale ày*(tj;', |Ji', p) [pourvu que cette expression, considérée comme fonction de 0, soit continue et ait une variation limitée dans l'intervalle de o à /', quels que soient ^f et [jl'].

La somme (79) se réduira dès lors à la somme double

P;r([^)P^"(P-')cosm(^-f)^<];'^p.',

qu'on sait être égale ày((|;, |jl, p) [320].

Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé pour la somme de la série (80).

336. En cessant, pour plus de simplicité, de mettre en évidence les quantités tj>', jj.', n qui conservent une valeur constante dans toute cette recherche, cette expression peut s'écrire ainsi :

jr7(P')P'^<o'2^-^-

La fonction F(/?p) satisfait à l'équation différenlielle

^P'^7^ -^ [/'V'" «(« + •)] F(/>P) = 0, et, comme elle est symétrique en p et/?, on aura aussi

On a de même •

En combinant ces deux équations, on trouve

en posant, pour abréger,

= p'[pFipf')F'{pp)-.f'F{pp)F'(pp')].

on aura, par suite,

Nous avons trouvé d'autre part

2/? | dp ôr

lipill hdp J

or -!

Pour transformer cette expression, nous remarquerons qu'on a

or i ^-r ^ j. ^p

ce qui permet de mettre ^pp sous la forme

et de donner à l'équation à la surface

i___^L^ l HF(/?/-)=:o,

la forme suivante

(84) p^l^^^\\rY{pr)^o.

Désignons par ^(/?) le premier membre de cette équation ; l'identité

(85) p'^l^Pll+\\r^^^pr)^ii{p), étant différentiée, donnera

Enfin, pour p = a-, l'équation (8i) peut se mettre sous la

forme

( d dF{pr) dF{pr)

87) l^dp^ dp ^ dp

{ +[/?V--'^— /z(/z4-i)]F(/?r)=zo.

Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de

F(nr), ^^-^-^, -f.;,^!^pour les substituer dans (83), ^^ ' dp ôp^ dp ^

il viendra

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l\^^

en posant, pour abréger,

On aura, par suite,

Fipp)¥{pp') ^ 2Q{p)^'(p)

337. Il est aisé de voir que cette expression est le résidu, pour le pôle z = j?, de la fonction

En effet, posons z ^ p -f- A; on aura

hQ'ip)^...,

cp(^) — 9(/?)4-/i o\p^-y..,^

Y \ [ lh \

Le résidu cherché sera donc

,-(p'2 p^)/>-^yH/^)

, 2cp(p)

Or la quantité entre parenthèses est nulle. En effet, les équa-

/Q^\ /Qa\ . /Q \ ' ^ . - ^ dF{pr) lions (o3), (oo) et (07), résolues par rapport a -y-p — ^ ?

— ^^^ — -) F(/?r), donnent

V(^r)- {i-llr)^(p)~^~p^'{p)

^^^" " Qip)

Substituons cette expression et sa dérivée dans l'équation (84)- Il viendra, en tenant compte de ce que '^{p) est nul,

n [i^-^^rWip)-'-^'iP)-^PV{p) P¥iP)Q'iP)~]

^L Qip) Q-'ip) J

}lrp^'{p)

Qip) ~ ' ^j . ,. • p^'ip)

ou, en réduisant et divisant par ^^,., ^ ' ^

338. On remarquera d'ailleurs que, pour z = o, la fonction y^{z) n'est pas infinie, car <o{z) contient le facteur z^ qui figure au dénominateur. Donc x(^) ^'^ d'autres pôles que les racines/?, et l'intégrale

^^.fyM)d.,

prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de Taxe des y, sera égale à la somme

bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce contour.

Les termes correspondants de la somme (8o)' donneront l'intégrale double

(88) ff(?')?"dp'^^-^^.j'x(z)dz.

339. Prenons pour contour d'intégration {fig. 9) le rectangle MNPQ qui a pour sommets les points Bf, Ah-B^ A — Bi, — Bi, A étant une quantité réelle de la forme

où k est nn entier, etB une autre quantité réelle, très grande par rapport à A. En faisant croître indéfiniment l'entier /r, ce rectangle contiendra un nombre de racines de plus en plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant la limite de l'expression (88) pour k ^= 00,

Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il nous suffira de faire voir : i" que l'intégrale

où b est une quantité variable entre o et r, reste constamment inférieure à une limite finie ; 2" qu'elle tend uniformément vers ^lorsque k croît indéfiniment, tant que b restera

Fig- 9-

inférieure p — s ou supérieur à p -h s, e étant une constante quelconque.

En effet, l'intégrale ( 88)' étant décomposée en deux autres, où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement pour valeur (t. II, n« 221)

i/(p-o) et i-/(pH-o).

Leur somme sera donc égale à /(p), puisque cette fonction est supposée continue.

Nous remarquerons d'abord que y(^) étant une fonction

impaire, les éléments de 1 intégrale / ^ — ~ prise sur le

côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, y^{z) prenant des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symétriques par rapport à l'axe des x, le reste de la ligne d'intégration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure KNM, à la condition de doubler la partie réelle et de supprimer la partie imaginaire du résultat obtenu.