Posons pour abréger
i nous aurons (217) pour V(^z)=iZ "J ^{z) une expression
de la forme
(90) F(2) = î!^-^^\a+0) + sin(=-X)0„
0, 8< étant des polynômes en — • La dérivation donnera pour
F'(z), F'^(;:;) des expressions analogues
(90 F(^)r=- !lI^lA)(a-i-G,) -. cos(^-X)03,
(92) ¥"{z)-^- ^^'^"1"^^ (a 4- 0,) -H sin(^ - X)0„
O2, ...,05 étant encore des polynômes en — •
So\i z=^ u-\- ti^ t étant positif ou nul. Le module des
quantités
COS {z — X ) =
sin(5 — X) =:
sera compris entre
Q—t-\-(u—'k)i. Qt—{ii—\)i
et
et, par suite, moindre que e^ En particulier, si t est très s^rand, il se réduira sensiblement à 4e^.
D'ailleurs, si le module \/ u- -\- 1^ de ^ est >> i, les modules des polynômes B, ...,05 seront limités ; et si \z\ est
très grand, ils seront du même ordre de grandeur que p— ^•
Les modules des quantités F(^), F'(^), F''(^) seront donc, si t est très grand, sensiblement égaux à
et seront, dans tous les cas, moindres que
/ désignant une constante.
Ce dernier résultat, que nous venons d'établir en supposant 1^1 >i, subsiste évidemment encore si |^|^i; car,
et dans cette hypothèse, ■ — r est au moins égal à i, et, d'autre
part, les modules des fonctions entières F(s), V\z)^ F''(^) restent inférieures à une limite fixe.
341. Il est maintenant aisé de trouver, soit la valeur approchée, soit une limite supérieure du module de chacun
des facteurs de la quantité
qui figure dans l'intégrale (89), lorsque |^| est très grand,
ce qui a lieu sur toute la ligne d'intégration.
20' On a tout d'abord ~ << 2. En second lieu,
q(z) — r^z^—n{n-hi) — Rr{i — l{r),
a son module sensiblement égal à /•- | ^ |-. On a, d'autre part,
^{z)=:z^^^ -hH/'F(rz) (Jz
z=rzF'{rz)-^llrF{rz).
Sur le côté horizontal du rectangle, où z = u -{- Bi, u variant de o à A et B étant très grand, les modules de F(/'^),
a e'"'* ¥' (rz^ seront sensiblement éeraiix à ■ — , et l'on aura sen-
siblement
Sur le côté vertical, où ^ = A 4- ti^ t variant de o à B, on aura, en remplaçant A et X par leurs valeurs,
rz — X = r A — X ~\- rti:=i {ik — \)t. -^^ rti, d'où
sin(r^ — X) -:=:: — cos rti, cos {rz — X) -— s'mrti, et, par suite,
+ iir\^-^^[<x+ e(rs)] - cos rti(l,(rz)\.
On en déduit
(98) '\>\z) — 0.^008"^ rti (i -i-M-hM'tangr^/ + ]VrtangV^Oi
M, M', ]VF, M"' étant des poljnômes formés avec les puissances négatives de A + ^/; A étant très grand, ces polynômes ont leurs modules tr(''s petits; d'autre part, lorsqne t varie de o à oo, tang/'^i varie régulièrement de o à « ; donc on aura sensiblement
\Y~{^) | = a2cosV^/= l.(^e''^-he-''^y> ^e^'"'. 4 4
Considérons enfin le dernier facteur,
P'?(^) ^ ,rpF(,o's)F'(p^)-p'F(p4;)F'(p':;)-l
Il peut se mettre sous la forme
Or on a
P p'-p -p'-pjp M--)^^^^,
expression dont le module a pour limite supérieure
pVl^i,
[X désignant une limite supérieure du module de F'Çxz); or ce dernier module est moindre que
Y^\^pp'\z\'
car 0?, variant entre p et p', qui sont eux-mêmes compris
pp' entre o et r, sera << /', mais >> ^•
On a donc pour limite supérieure du module cherché l'expression
rle''^
P J. -- Cours, [II. 29
45o TROISIÊMK PARTIE. — CIIAPITIIE III.
Le même procédé, appliqué à l'expression
donnera pour son module la même limite.
Substituant pour ces quantités, ainsi que pour F(p^), F'(pz), . . . , les limites de leurs modules, il viendra
D'ailleurs, p' étant ^r et j^j étant très grand, le second terme de cette expression sera négligeable par rapport au premier.
342. Il résulte des évaluations qui précèdent que, sur le côté horizontal du rectangle où ^ = B, et où | ;s | est sensiblement égal à B, l'intégrale (89) s'annule pour B =00; car on aura
If ITZ l
[Ji désignant le maximum du module de p'^y(z), lequel, d'après ce qui précède, ne peut surpasser sensiblement la quantité
4 /2re(r+p)C
qui s'annule pour B = oo, car elle contient en dénominateur l'exponentielle e^^~P^^\
Considérons maintenant l'intégrale suivant le côté vertical, laquelle, pour B = 00, se réduit à
^ f r 9"x{h.-\'ti)dtdp',
Elle a une valeur limitée, car son module est au plus égal à '-— -^ / vdt< — ^dt,
|x désignant une limite supérieure du module de p'-y^(A-{- ti). Or \z\ étant ici égal à y/A- -H ^'^ [f- ne peut surpasser sensiblement l'expression
laquelle donne une intégrale finie, à cause de la présence du facteur e^^~P^^ au dénominateur.
Nous allons enfin démontrer que l'intégrale, suivant le côté vertical, tend uniformément vers | pour A = oo, quelle que soit la valeur constante ou variable assignée à b.
A cet effet, nous remarquerons d^abord que l'on peut supposer ^> ir- En effet, si b était << .-5 on pourrait décomposer le champ d'intégration relatif à ^' en deux autres, s'étendant l'un de p à yj Pautre de - à b. Le module de l'intégrale relative à cette seconde partie du champ est au plus égal à
€t a fortiori à -r- / [a dt^ quantité indépendante de 6, et qui
s'annule pour A ^=: co. On n'aura donc à considérer que la première partie du champ.
343. Supposons donc by -r-* Ponr déterminer dans ce cas la valeur limite de l'intégrale, il ne suffira plus d'assigner comme on l'a fait jusqu'à présent, une limite supérieure à son module; mais il faudra analyser avec plus de précision la nature des facteurs de x(-^)-
Considérons d'abord le facteur
Substituons aux fonctions F(p^), ... leurs valeurs
V{^z) = -^"i^f^H^^ [a -f- 6(p^)] + sin(pc - X)G,(p^),
il viendra
"^^"^ pp'\ -r- sin(p'5 — X) sin(p5-^-X)D"
( -hcos(p':; — X)cos(pi; — X)D"' j
chacune des quantités D, D', D'', D"' étant une somme de fractions simples, de la forme
pi^p'^^F--t^v+î *
En faisant usage des formules
• // ,N / >x sin[(p -l-p')5 — 2X]H-sin(p' — p)^ sm (p' z—1) CCS {pz — X) — — -^ ^-^ ~ -^- y
on peut mettre cette expression sous la forme ( sin(p'-^p).[.^(^-e)+E]
pp -f-si
