cos(p'— p) s E" 4- cos[(p' -^p)z — 2X]E

E, E', . . . étant de la même forme que D, D', ....

D'ailleurs, pour p' = p, ^{:-) s'annule identiquement; donc

E', E'^, E"^ s'annulent. Si donc une de ces fonctions contient

la fraction simple

^V/^ ^"ïï -i-v-f-l '

elle contiendra son associée

pVp'p-sf^'+^-^i

Cette fraction, ajoutée à la précédente, donnera un résultat de la forme

(p'— p)> » , '^ ' où Y + 3= |X-hV — I.

^^pfip'T^[^'^-v+l ^ ■ ^

On aura donc

F', F'^, F'" étant des sommes de fractions simples, de la forme

p'rz^+T+2

Substituons, dans les arguments des lignes trigonométriques, la valeur z = Pi.-^ ti et séparons la partie réelle de la partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remarquons enfin que 2X ne diffère de irK que par un nombre impair de demi-circonférences ; il viendra

, , ^ r sin(p' — p)Acos(p' — p)^nr^^/ / X T^ I

^^ ^(^) = U cosî;'- p) A sin(p'- l)a\ l.-. (? + P) "- ^J

^ r— CCS (2/- — p — pO A. sin(p'-T-p)^n__/a2 "" L sin(2/' — p — pOAcos(p'+p)^/J^^ '\''2

, r cos(p'— p)Acos(p'— p)^n ~^\- sin(p'— p)A sin(p'— p)^/J^P ^'

cos(2r — p — p') A cos(p'-T- ^)ti sin(2r — p — p') A sin(p'-h p)ti

344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E. F', F'^, F^^', considérée comme fonction de p' et de t^ est de

la forme

—, ^—7— ) ou V ■> [X.

Elle peut s'écrire

p/[x(A2-h^-)^ Za p'i^(A--h^-)^

Chacun des termes de cette somme est le produit d'une puissance de « par une fonction de p', A, t^ continue, réelle et positive dans tout le champ d'intégration. Cette fonction sera croissante de p' = p à p' = 6, si 6 -< p. Si 6 >> 0, on pourra la décomposer dans la différence des deux fonctions partielles

pf^ (Â^T~^ ^^ v^ ~" yv-j (A2-t-^r^)^'

également continues et positives, dont la première ne varie pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p à ^.

D'ailleurs A et ^ étant au plus égaux à y/À- -h t^ et p' au moins égal à -r- dans tout le champ d'intégration, le module de la fonction considérée aura pour limite supérieure

et, si ^ > p, les modules des deux fonctions partielles dans lesquelles on la décompose seront moindres que

Ces diverses fonctions tendent donc uniformément ver& o pour A = 00, quels que soient p' et t. D'autre part, la fonction

Qifi - ^2 ^(^ + 0 + Hr(i - Hr)

est de même égale à r-, plus la somme de quatre termes, dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonclionpositive de ^etde A, qui tend uniformément vers o pour A = 00, quel que soit t.

On a enfin

<];2(^) — a2 cos'^rti{i + M 4- M' tang/'^i + M" tangV^i)-

Chacune des fonctions M, M', . . ., étant une somme de

termes de la forme

s'exprimera par une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction continue et positive de t et de A, qui tend uniformément vers o pour