A=::=GO
D'ailleurs, lâng/Ui est le produit de i par une quantité comprise entre o et i . On aura donc
i-h M + M' tangr^i -h M" tangV^^ = i -h P + P'i — P"— P"i;
P, P', P'', P''^ étant des fonctions continues et positives qui
tendent uniformément vers o pour A = oc, l'expression
n-M4-M'tangA^f + M"tangV^j"~(i-+-P — P")2+(P'— P"'^) sera évidemment une fonction de même forme.
345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour l'intégrale cherchée
l'expression suivante
r sinÇp:-^) A />=
cos(p' — p)ti ,
cos^ rti
// / \ A j / r" sin(p'— p)^/ , fi ces (p' — p ) A do' / 7-—^^- -V — ■ 9 -
-/ sin {2 r — p — p') A dp' I
dt dt
, r*cos(p'4- p)^£ -t + R,
p' —, dt
[ — / cos(2r— p — p')A«?p' / —
cos^r^i
irp I
cos{p'—p)tî Ro ^^^
cos,^ rti
dt
nr\<!.(2r — p
p[)kdp' f
dt
cos- rtl ' p'-h- p
/• / i\ K j r r'" sin(p'+ p)ti , Rt sin (2 r — p — p') A <^p' / ■ ^—--^^l— p' -^-1- dt ^ ^ \J, cos' rti : p'-i-p
R, Ri, R2, R3 étant une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction de p^, ^, A, continue, positive et bornée, laquelle croît (ou tout au moins ne décroît pas) lorsque p^ varie de p à 6, mais tend uniformément vers zéro quel que soit p pour A = oo.
D'ailleurs p' et -7-^ — sont des fonctions de p^ finies et con-
tinues; elles sont croissantes de p à 6, si è "> 0; dans le cas contraire, elles sont la différence de deux fonctions finies, continues et non décroissantes
„ ^ , ^ . , , X . .sin(p' — p)t:i
Enfin, les fonctions cos(p'— p)/«, — i — ^, '-^— sont
P— P croissantes de p à 6.
Donc chacune des intégrales relatives à f, qui figurent dans la formule précédente, porte sur une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction de p', A, t positive, bornée et continue, laquelle ne décroît pas lorsque p' varie de p à ^, mais tend uniformément vers o pour A:=oo (à moins qu'elle ne soit indépendante de A, ce qui arrivera pour les termes des quatre premières intégrales qui ne proviennent pas de R et de Rj).
L'intégrale de chacun de ces termes, prise par rapport à f, sera manifestement le produit d'une puissance de i par une fonction de même forme, que nous désignerons par /(P'-A).
