D'autre part, les intégrales

^sin(p'— p)Ar/p'

sin (p'— p)Adp'

I — cos{b — p) A.

/ / K K ^ I sin(è — p)A

COS ( p' — p ) A <ip' ==: ^—

* . ,^. ,, cos(2r— p — è)A— cos(2r — 2p)A sm ( 2 /• — p — p ) A dp' -= T '

,^.,, sin(2r — p — ô)A— sin(2r — 2p)A ces {2r — p — p')A.dp'^^ ^^ V-

ÉQUATIONS AUX DÉHIVfiFS PARTIELLES. 4^7

sont limitées et, pour A = oo, tendent uniformément vers les

limites respectives -y o, o, o, o.

Soient

l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de l'intégrale

/ cp(p',A)/(p;,A)^p'

par la méthode employée au tome II, n° 221. On a, en effet, \ désignant une constante,

Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de la moyenne; il viendra

= /(p-i-X,A)r cp(p',A)^p'4-/(6,A) r cp(p',A)^p'.

Pour A=^GC, les deux intégrales ci-dessus tendent uniformément vers zéro (pour plus de détails, voir l'endroit cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro (ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A).

Reste la première intégrale

r cp(p',A)/(p',A)./p'

--/(P,A) r cp(p',A)<o'+ r [/(p',A)-/(p,A)]cp(p',A)^/. Le premier terme tend, pour A ^^^ oo, vers Glim/(p,A).

Appliquons à l'autre le second théorème de la moyenne; elle devient

U(9 + ^, A) -/(p, k)]J^" o(p', A) df',

Ç étant compris entre p et p -|- \.

L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur tend d'ailleurs vers zéro pour A = oc, s'il dépend de A; sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en faisant décroître \.

Nous obtenons donc pour la limite cherchée

Glim/(p, A).

347. Tous les termes des intégrales (g4) pouvant être traités de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la pre-

mière d'entre elles, pour laquelle il est égal à -? la limite

cherchée sera, en désignant par Rq ce que devient R pour

r t:,. r dt (i Ro\ hm / , . p +

.. p rdt f Ro

Mais, lorsque A tend vers ce, Rq tend uniformément vers zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme

rdt

Posons 6'"'= w; cette intégrale se transforme en

Doublant ce résultat d'après le n" 339, on obtiendra -j ainsi qu'il fallait l'établir.