J/ rrr O, S^J^' =r O, ..., O^^rr-O

Il est clair, d'ailleurs, que cp<, cpo, ... ne sont autre chose que les dérivées partielles -^j "XT' ' ' " P^^^i' ^^ valeur particulière £ =: o. Or on a généralement ^i ^k^ ^ ^k ^i^

Pour £r= o, -^—r se réduira à C5/^ = -— o^o et —-r -^; — r à

-^ô* -7-^- Substituant ces valeurs dans l'équation précédente et multipliant par la constante £^, il viendra

Cette équation montre que les deux opérations de la dérivation et de la variation peuvent être transposées.

3i9. Les équations (i), respectivement multipliées par e, £-, . . . , pourront s'écrire

à y ' à y -^ dz

dy^ ^ dy'^ -^ dz- ày ây' -^ -^

Si les fonctions r, z, . . . , au lieu d'être données immédiatement en fonction de .r, étaient exprimées au moyen de x^ t, t', ... ; «, u'j ... ; . . . , où t, II, ... désignent des fonctions de œ, le changement de ces dernières fonctions en ^-h £t, w -f- £U, ... transformerait y, z, . . . en y -+- oy H- ^ S-jr-f-...,

I ^'Z -I- . . , , . . . , et, par suite, cp en

■(p(^,/-r-87-hi82^4-..., j'-4-Sj^'+|-o2/-i-..., z-i-oz-i-il^z-^- .., ..)

cp -T- 8cp H- -| 0^ (

ou

âf -^ df' "^ (^:^

Ainsi 8cp conserve la même forme que si y, z étaient donnés directement en fonction de x] mais les variations suivantes seront modifiées par l'adjonction de nouveaux termes en S^j',

sy, ....

350. Proposons-nous maintenant de déterminer les variations successives d'une intégrale définie

Changeons y^ z en jk + ^y-, z-\-^z, . . . ; cp sera transformé

en

<î> (^, s) = cp -f- 8cp 4- I 0- cp 4- . . .

et I en

f (cp -I- ocp + -|o2cp -{-...) <i^.

Séparant les termes affectés des diverses puissances de s, il viendra

'^Xç, '^Xo

Ce résultat suppose toutefois que les limites ^q, Xy de l'intégration sont des constantes fixes. Si nous admettons qu'en

même temps qu'on altère les fonctions jk, ^, . . . on accroisse ^05 ^^ de quantités infiniment petites ^^o = ^^oj ^^\ = ^ii > I subira de ce fait une nouvelle altération A'I, égale à

Gliacun des termes de cette expression peut se développer sans peine suivant les puissances de e. En effet, considérons, par exemple, le terme

jcj -h ùx,

8^ CD dsc.

La formule de Tavlor donne

[5*cp],, . . . représentant les valeurs de 8^cp et de ses dérivées pour X =^ Xi (jK, Jk'i . . . , s, ... étant en même temps remplacés par les valeurs jko Jk'^ , • • • ; ^i , • • • qu'ils prennent pour x = Xi).

Multipliant par r et intéerrant de Xi à ^i + 8^,, il

viendra, pour valeur du terme considéré,

Chaque termede l'expression (4) étant développé de même, on obtiendra, en réunissant ensemble les termes de même ordre en e,

Réunissant ces termes à l'autre partie de la variation déjà obtenue précédemment, il viendra, pour la variation première

del.

pour la variation seconde,

331. On peut arriver au même résultat d'une autre manière, en transformant l'intég'rale

Al=z / <ï>

{x, e) dx

par un changement de variable, de manière qu'elle ait les mêmes limites Xq, x^ que l'intégrale primitive. Posons, en effet,

3^ étant une fonction arbitraire de t^ affectée du coefficient e et assujettie seulement à se réduire respectivement à ùXq et 8^i pour t'-=^XQ Ql t =zx^\ on aura

ou, en écrivant x au lieu de ^,

— / <i> -^ __. S^ l s^2 ^ . Udx -hdùx)

=rz / ci>cix ~\- d ^ùx-^~ h . . .

^ L àx 2 J