CHAPITRE IV
mais on a
<î> r=: cp -h 0'^ -i- -| 8- cp -t- . . . ,
d^ <icp d^'ji I <iS-cp
do) dx ' dx ' 2 dx
Substituons ces valeurs dans l'expression de I-I-AI, et séparons les termes de même ordre en e; on trouvera, pour 81, û^I, ..., les mêmes expressions que tout à l'heure.
352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier non seulement l'expression de r, ^, ... en fonction de la variable indépendante x^ mais cette variable indépendante elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces saire, lors même que les limites jto, x^ restent fixes.
Considérons, par exemple, l'aire comprise entre l'axe des x
Fig.
Xo
et la courbe figurée en ligne pleine par la fig, lo. Elle sera représentée par l'intégrale
ydx,
OVL l'on donnera à ^ la série des valeurs successives qu'il prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée correspondante.
Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle
CALCUL DES VAllIATIONS. 4^5
que la figure représente en pointillé, et proposons-nous d'évaluer raccroissement de l'aire lorsqu'on passe de la première courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suffira pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première courbe en laissant l'abscisse constante; car il y a sur la seconde courbe des points auxquels ne correspond, sur la courbe primitive, aucun point ayant la même abscisse. On pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps que les ordonnées.
3o3. Cela posé, l'objet principal du calcul des variations est la solution de la question suivante :
Les fonctions y^ s, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie, achever de les définir, de telle sorte que la valeur de l'intégrale I soit maximum ou minimum.
D'après cet énoncé, si l'on donne ky, z, . . ., Xq, x^ un système quelconque de variations infiniment petites S/, 8s, ..., 8^0, û.r< compatible avec les conditions imposées par l'énoncé du problème, l'accroissement
qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum).
Or, £ étant infiniment petit, l'ensemble 81 des termes du premier degré sera prépondérant et donnera son signe au résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très généralement) qu'à chaque système de variations ùy^ 8s, . . ., 8^07 ^-^i compatible avec les conditions du problème, correspond un second système de variations — 8jk, — 8s, ..., — ^8x0, — 8^^ jouissant de la même propriété, ce nouveau système de variations donnera à I l'accroissement
