SI

J. — Cours, III. 3c

f\66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

qui sera de signe contraire au précédent, à moins qu'on n'ait SI -.= o.

Nous obtenons donc cette première condition pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum :

La variation première ol doit s'annuler pour tout système de variations 8/, 8^, ..., ^Xq, ^x^ compatible avec les conditions du problème.

354. Cette condition détermine, en général, ainsi que nous le verrons, ce qui reste d'arbitraire dans la définition des fonctions j^, 5, ... et des limites Xq^ x^. Mais elle n'est pas suffisante. Il faudra en effet s'assurer que, après avoir ainsi déterminé ces quantités inconnues, l'accroissement de I pour une variation infiniment petite (compatible avec les conditions du problème) conservera toujours le même signe; d'ailleurs, 81 étant nul, cet accroissement se réduit à

iin-'-....

Le terme prépondérant de ce développement, ^8-1, ne devra donc pas changer de signe, quel que soit le système de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont admissibles. Cette seconde condition sera évidemment suffisante si 1^8-1 est toujours différent de zéro. Mais, s'il existait un système de variations qui annulât 8^1, il n'y aurait ni maximum, ni minimum, à moins que ô ^^ I> 4"i ^st d'oidre

impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il resterait à discuter le signe de 8''I, etc.

Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les conséquences de la première condition