Posons, pour abréger l'écriture
do f)o do r> ^^ T>
CALCUL DES VARÎATIOxNS. 4^7
Nous aurons, d'après la formule (3),
ocp = A. 8j + <\, 8/ -h ... -h A^ oy^ -f- B 8^ H- . . . ,
valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / 80 dx.
L'intégration par parties permet de transformer cette expression en faisant disparaître sous le signe / les variations des dérivées y, . . . , 7"*, 5', . . . , 5«, . . . . En effet, considérons, par exemple, le terme
Nous savons que Sy est la dérivée /c*'^"^^ de Zy; on aura donc
A;tSy^^=^[A;i.8y-i — A/,;8y-2-i-...4-(-i)'^-^Ai:-» 8j]J. (-i)^-A|8j^^.
opérons de même sur chaque terme de 8cp et posons, pour abréger,
Al - - a; -h ... + (- 1)—' A;r ^ = G, A,- A'3 + . . .4- (- 1)— ^ A;;r- ==GS
(5) ^ B -B;+...+ (-i)'^ B« rrzN,
B,-B;-f-...-f-(-i)«-iBr^ -:D,
il viendra
SI
Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de valeurs admissibles des variations ùy, ùz^ . . . , 8^05 8^<-
356. Supposons d'abord que ces variations puissent être choisies d'une manière entièrement arbitraire. On pourra poser, en particulier,
9 étant une fonction quelconque de x, qui s'annule pour x^^Xq et pour x = Xi^ ainsi que ses dérivées successives, jusqu'à un ordre égal au plus grand des nombres m — i,
n — I, Pour ce système de variations, les termes tout
intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura
Cette intégrale, dont tous les éléments sont positifs, ne pourra s'évanouir que si l'on a
ce qui réduira l'expression de 81 à la partie tout intégrée
r G8j4-G^ a/-4-.,.-hG'«-iSj'"-n^'
-hDS^ H-D^S^'+...-hD«-^ S^"~i j H-[cp,]S^,-[c?]o8.^o
--= G, §7, -^- Ci -oy\ H . . . -H 0"^' ^^yT' "" D. S^, + . . . -^- B'r oz'^
-GoS7o--C5 8j;-...-Gr^ojr^--DoS--o-..--DrUVr^-
-|-[cp]i8^i— [cp]o8^0 5
que nous désignerons par H.
Les diverses variations qui figurent dans cette expression
sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour • que 81 s'annule identiquement, il faudra qu'on ait encore
Les équations
.-hC-O'^A-,
<7) o=rN=. B — B;-+-.
sont des équations différentielles entre x et les fonctions inconnues r, z.
Lapremière contient les dérivées de j^', Zj ...jusqu'à l'ordre '2nij n-\~m^ ... respectivement. La seconde les contient jusqu'à l'ordre m-\-n, 2/z, . , ,; et de même pour les suivantes si le nombre des fonctions jk, ^, ... surpasse 2. Ces équations forment donc un système d'ordre im -\- in ~i- ... en général, et donneront y, z^ ... en fonction de x et de im-\- 2n-\- ... constantes arbitraires a^ , «21 * • • •
En substituant ces valeurs dans les 2 -h 2/^ H- 2/1 H- . . . équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations nécessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les limites o-'o, x^. Le problème est donc en général déterminé.
357. Jacobi a montré que le système des équations différentielles (7) peut être ramené à un système de 2/n-}- 2 Ai-r ... équations du premier o»^dre ayant la forme canonique.
Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux fonctions inconnues y, z. Prenons pour inconnues auxiliaires les quantités y' ., . . ., jk'"~', z' .^ . . . , ^"~', 0, G\ . . ., (yri-\^ D, D^, . . . , D'^~' ; on aura, par définition,
l dx
fy]0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
D'autre part, la difTérentialioii des équations (5) donne immédiatement (en remarquant que M =r: N = o)
, ^ \ dœ-"^' •••' dx -'^' ^ '
l dx '^' •••' dx ^^' '
et, si l'on tire des équations
(lO) A,,rr=G— S B,=.D-^
les valeurs de y"^, z'^ pour les substituer dans les équations (8) et (g), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables j^, /, ..,JK— ';^, ...,^"-^ G, ..., G--', D, ..., D«-S un système d'équations du premier ordre, équivalent aux deux équations primitives.
Ge nouveau système est canonique. Gonsidérons en effet la fonction
Sa différentiation donnera
d\} r^ Il dx -I- A c/j + ( Al - G ) ^j' -4- . . . -4- ( A,„ - G'«-^ ) ^//"' -I- Bdz h (Bi - Yy)dz' 4- . . . -h (B„ - D«-» ) dz''-
— y' dC — y" dO~...-~ y"' dC""-'
— z' dY) — z" ^D» - ... — z'^ ^/D'^-J.
D'ailleurs les coefficients de dy"'- et de dz'^ dans cette expression sont nuls. On voit donc que, si l'on exprime U en fonction de x, y, . . . , jk'"~^ ; ^, • • . , z"~^ ; G, . . . , G'""* ; D, . . ., D«~"', en éliminant jk'", z'^ au moyen des équations (lo), on aura
A,-G --., ..., B -^^, ...> ce qui établit notre proposition.
Ar=
358v Réciproquement, soit V une fonction quelconque de X et d'un nombre quelconque de couples de variables jr, '/]] Zj Ç; ...; supposons ces dernières quantités fonctions de JO, et cherchons la variation de l'intégrale
en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation qui restera sous le signe / , après l'intégration par parties, sera
