CT(S-')''*(S
et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les équations canoniques
On voit donc que le problème d'annuler la première varialion d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équations canoniques sont entièrement équivalents.
359. Les résultats que nous venons de trouver subissent quelques modifications, lorsque les fonctions jk, -Z, ... et les limites Xq, x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre dans les problèmes usuels.
i" Les fonctions y, z^ ... sont encore arbitraires dans l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les limites Xq, x^ et les val(
mites les quantités jk, y' ou plusieurs relations
On aura encore, dans ce cas, M -- o, N i- o, ... ; mais les variations ^Xq, 8^,, 8jro, ••• qui figurent dans la partie tout intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des
rs
; iJo, •■•
zr
Lie prennent p
our
ces li-
. . une
autres, et chacune des équations (ii) fournira une relation linéaire entre ces variations.
En effet, changeons y^ z, . . . en y -r- S.>', z 4- ôs, puis Xq^ x^en x^-^r^^Q, Xi-^Zx^. Soient jKo + A/q, j'o-^ ^f'^^ ••• ce que sont devenus j'o, y'^^^ ... par cette variation. Ces nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites x^^-^Zxq^ Xi -+- 8:^4, devront encore satisfaire aux équations aux limites fil = o, y= o^ .... On aura donc, en développant par la série de Taylor et s'arrêtant aux termes du premier ordre,
Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à trouver l'expression de A/o? Aj'o^ • • • en fonction de hxo, 8^<, oyo, ^y'^^J .... On l'obtient aisément comme il suit. On a, par définition,
— Lr^']x=x,^èx,-^ [b'^']x^-x,+ox,,
= /o -^A^' °^-o4- . . • 4- S/o" + • • • • On aura donc, en négligeant les termes du second ordre, comme nous le faisons dans toute cette recherche.
Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre les variations Sj^o? ^-^i > ^J^oy ••• qu'il existe d'équations de condition tj>r==:o, -^ = 0, .... Soit/? ce nombre. On pourra, au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équation
-h Ciô/i-h.,
••+ Gf-^5/f '
— Go ô/o — .
..-c'r'oyr'
— Do o.-o — .
..-Dr's.r^
Les 2 -!- im -\- in -^- . . . —• p variations restantes étant entièrement indépendantes, on devra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations de condition nonvelles, qui, jointes aux équations ^:=i o^ -^ r= o, . . ., détermineront encore ^o? ^k et les constantes d'intégration.
On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symétrique en ajoutant à l'équation précédente les équations 7yh rzz: o, 5y = o, multipUécs par des indéterminées 1, [jl, . . . , et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les 1 -\~ 1 m -^ in -^r • • • équations ainsi obtenues seront les mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de I -f- X'^^ -\- ]xrj^ -!-•••■, X et tjL désignant des quantités invariables. En les joignant aux équations données <]> :=^ o, y= o^ . . ., on pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y compris les inconnues auxiliaires )^, jx, . . . .
360. 2' Les fonctions j^, s, ... ne sont plus indépendantes, mais sont liées par des équations difî"érentielles
Soit p le nombre de ces équations, dans lesquelles pourront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues j', z, ... el leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires u, ... et leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra toutefois être inférieur à celui des équations de condition.)
Les équations «j; = o, y^ ^=3 o, ... feront connaître p des inconnues y, z, . . ., iij . . . , par exemple ^, ... en fonction des autres z, . . . , z^, . . ., qui resteront indéterminées.
Cela posé, désignons par X,, ..., X^, des fonctions arbitraires de X, que nous nous réserverons de déterminer. On aura évidemment, pour tout système de variations de j^, 5, ..., u, ...; ûCoy x^ compatible avec les équations ^ = o^ '^^= o, ...,
' ^dœ~^i (cp -h Xit|> + XaXH-- • .) <^"^;
()x, '^ H- Tvo'/ -f-...) dx étant identiquement
nulle, sa variation l'est aussi.
La variation de l'intégrale
traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonctions X), pourra se mettre sous la forme
H' -h r (M' Sj -f- N' 0^ + . . . -;- V'U-^...) dx,
IF désignant la partie tout intégrée et M', W des expressions formées avec y^z,...^u, ...,).,,..., 1^ et leurs dérivées. Déterminons les fonctions arbitraires ).,, ..., \p par la condition d'annuler les coefficients des variations 8y, . . . des variables dépendantes y, . . .; ôK. se réduira à
H' -h r \wiz-\-... -h P' lu H- ...)dx,
et, comme les variations '^z, ow, ... sont arbitraires dans tout le champ d'intégration, on aura séparément
H'==0, JN'^rrO, ..., P^^rO,
Nous aurons donc, pour déterminer y, z et les fonctions auxiliaires X,, ..., \p^ les équations différentielles simultanées
Les constantes d'intégration et les limites ^o? ^\ se déduiront de la condition PL = o. Celle-ci se décompose d'ailleurs en autant d'équations distinctes qu'il reste de variations indépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a
CALCUL DES VAIUATIONS. [\']0
tenu compte des équations aux limites
pour œ —-. Xq et ^--^,;
. , » ^ " ^0 et ^ - :: x^ ; »
qui sont des conséquences des équations ^ == o, y= o, lesquelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x»
La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées successives de t|;, y, . . . , des dérivées de y, z, . . .\ u, . . . d'ordre supérieur à celles que contient H'.
On obtiendra donc la solution du problème proposé en égalant identiquement à zéro la variation de l'expression
(if-t-\,ii + X^X + ...)dx
sxo^^-<|)---;x.H-v|(|)
Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations
et à celles-ci :
déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X, p., v.
361. 3*^ Les quantités inconnues X, ^, • . ., ^oi ^\ sont assujetties à varier de telle sorte qu'une intégrale définie
^(•^)7^y^ -••;-,-',.• ■)dx,
prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur constante c.
Ce cas se ramène immédiatement auK précédents. Prenons, en effet, comme inconnue auxiliaire, la quantité
M — : 1 tj; dx.
Cette équation, qui définit w, équivaut évidemment aux deux suivantes :
W'zrzt^, 11==. O pour œ^r-OCQ.
D'ailleurs, pour ^ -— ^, , j^ devient égal à c; on doit donc avoir 11=. c pour Xzrz oCy^.
D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler identiquement la variation de l'expression
/^■^\ I ['f H-^(^ — "')] dx -^ [x^Wo-h p-i(Wi— c)
Xq
io -hX<]; -\- j- u\ dx-\- ([J.o4- Xo)wo-r- (f^i — ^>i) ("i— ^)»
Ao et Xj étant les valeurs de \ aux deux limites .ro et ^< .
Les termes qui, dans la variation de cette expression, dépendent de ùiL^ Smq, oi^i, seront
j — ùudx H- ((Jt-o-H ^o) SwoH- (jJ-i— Xi) OM,. On aura donc les équations
— — o, |j.o -1- Xo — o, |Xj — Xi == 0 ;
CALCUL DES VARIATIONS. Zj77
donc "k est une constante, et la quantité dont on doit annuler la variation se réduit à
(cp -H X'I) dur.
Les équations qui expriment que cette variation est nulle détermineront les inconnues ^o? ^o y-) -, • • • en fonction de la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans l'intégrale K, en feront une fonction de "k, telle que fÇk) ; il ne restera plus qu'à résoudre l'équation
On peut retrouver ce même résultat par les considérations suivantes.
La variation de l'intégrale I doit s'annuler pour tous les systèmes de variations 5y, 8^, . . ., qui annulent la variation de K.
Gela posé, soient S'^o? S'^i , B'y, ù' z^ ...; o^^o, o"x^, S'^y, ù" z, . . . deux systèmes quelconques de variations de Xo, x^^ Yj z, . - .; et soient 8^1, ô'K; o"ï, ^"K les variations qui en résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons à Xq, Xi, y^ z, ... 'de nouvelles variations égales à
8"KS'y— o'K8"j, ^ni.^'z — ^'K^"z, .... La variation correspondante de K sera
8"KS'K-S'Ka"K = o.
Celle de 1, qui est égale à o"K 8'I — 8'K8''I, devra s'annuler également. On en déduit
Le rapport des variations de I et de K sera donc constant pour tout système de variations de y, z, .... Soit — 1 la
valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale
dx
sera identiquement nulle. Cette condition déterminera ^o? x^^y^ z^ ... en fonction de \^ qu'on obtiendra, comme tout à l'heure, par l'équation R -.= c.
On voit que, dans les divers cas que nous venons d'examiner, la solution du problème revient toujours dans sa partie essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les variations sont supposées indépendantes.
362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quelques exemples.
Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour que l'expression
soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de x^ y, y', . . . , JK"*~' 5
On a identiquement, par hypothèse,
On aura donc, quelles que soient les variations 8^05 ^-^i?
O --zr 8 r Tç> - "^ I dx :r : H - - [8-j;]J; -f- T ' (M Sj 4- N oz) dx,
H, M, N ayant la même signification que précédemment. On aura, par suite,
do d d'^ d^ do
()y dx dy' dx^ ôy"
{^-^ ~ ôz' dx âz' ~^' dx'- dz"
les séries du second membre étant prolongées jusqu'au point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes.
363. Ces deux conditions, dont nous venons d'établir la nécessité, sont en même temps suffisantes. Cette proposition est évidente si m = o, /z = o ; car les deux conditions se ré-
duisant dans ce cas a ~ = o, -r-^ == o, cp sera une lonction
dy oz ^ *
de X seul, que l'on peut intégrer.
Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de ii si elles le sont pour m — i, n.
Nous remarquerons tout d'abord que le développement des divers termes de M ne fournit que des dérivées àe y et
de z d'ordre inférieur respectivement à im et n -f- m, sauf
d'il ^,^
le dernier terme ( — i)'"-, ;;-^ dont le déNcloppemenl
^ dx'"- dy'"' ^^
contient les deux termes
Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne pourra s'annuler identiquemen! que si l'on a
{dy"')' ~^' dy'"âz" ~^' ce qui montre que f est nécessairement de la forme
cp=:Pj--hQ,
P ne contenant plus y'" ni z", et Q ne contenant plusj^'"- Posons
ym-\ seul étant traité comme variable dans cette intégra-
48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
tion; U sera une fonction de x, y, ... , y"^^* î -S? • " i ^''"S dont la dérivée partielle par rapport à yf^~* sera P, et l'on aura, par suite,
- dx
-Tyy
= Pj--
hR,
Pi ne contenant plus j^' Si donc on pose
djc
la fonction cp, -- Q — R ne contiendra plus y^^K D'ailleurs elle satisfera évidemment aux équations (i4); ^^^^ 9 Y satisfait par hypothèse, et -y- étant une dérivée exacte y satisfait
aussi nécessairement. Donc, le théorème étant supposé vrai pour m — i, /?, cp, est une dérivée exacte, et il en sera de même pour es.
364. Proposons-nous, comme seconde application, la transformation des équations de la Dynamique.
Considérons un svstème de n points /?i, ..., pa^ de masses m^.^ . . ., m„, et dont les coordonnées ^'< , jr» , ^n • • • ? •^'«j y II, ^-11 soient liées par r équations de condition
Soient X<, Yi, Zi ; ...; X„, Y,;, Z/^ les composantes des
forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui
a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient
, ., . , . „ dV> d\} d\} à\} ^U ^U
les dérivées partielles - — > -r — > -— -; •••" -:, — ? -^^^ — ? -3 —
^ dx^ dfi dzi' ôxn dyn àz„
d'une même fonction U des coordonnées x, y, z et du
temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique,
on obtiendra les équations du mouvement en joignant aux
relations (i 5) les suivantes :
rriiO^i -4- Al V 1-----H A,. ^; — ■ — o,
