SI
\ d\] „ . do, , , d^r
>H, ..., V étant des inconnues auxiliaires représentant les tensions qui existent dans le système.
Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive
et considérons l'intégrale
(Uh-T)^^
Les équations (i5) et (i6) sont précisément celles qui expriment que la variation de cette intégrale est nulle lorsque l'on suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées Xi^yt, Zi, et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties, dans le cours de leur variation, aux équations de condition (i5).
Gela posé, les relations (i5) permettent d'exprimer les 3/i coordonnées x, y, z en fonction de 3^ — /' d'entre elles ou, plus généralement, en fonction de 3^ — r nouvelles variables entièrement indépendantes q^^ q.^^ .... Substituons ces valeurs dans l'intégrale. On aura
dxj àqi
dX;
et, par suite, T se transformera en une fonction de ^i, ^2j ..• etde leurs dérivées q\, q\^ ..., homogène et du second J. — Cours, III. 3i
degré par rapport à ces dernières quantités; quanta U, il deviendra une fonction de g^, (72? • • ••
Les nouvelles variables q^, q^-, • • • ne sont plus assujetties à aucune équation de condition; leurs variations sont donc arbitraires dans tout le champ d'intégration; elles doivent seulement s'annuler aux limites. Pour que la variation de rintégrale
s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait
dqt dt dqi \ y y J
Ce sont les équations transformées que nous voulions obtenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système canonique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités
-3-7- C'est un cas particulier de la proposition plus générale
démontrée au n" 3a7.
36r^. Brachistochrone. — Proposons-nous de déterminer le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point animé de la vitesse initiale Vq pour se rendre d'un point ^oJKo^o à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court possible.
Prenons z pour variable indépendante. La différentielle de l'arc de la courbe cherchée sera y i -h x'^-\-y''^ ; la vitesse v, à un instant quelconque, sera y/'V^ — "^S^^' — -^o)» enfin la durée du trajet sera donnée par l'intégrale
C'est cette expression qu'il s'agit de rendre minimum. On a
dz
= II 4- r ' [M S^ H- N 8j] dz, en posant, pour abréger,
p^ -4 ^'(8.x, ^ ^' Sg) +/(Sy -4-y 8^)1 1
dz ^i^^r'^-^y"^^vl-2g{z-z,)
Les deux équations différentielles de la courbe cherchée M rzr o, N z= c
donnent immédiatement
ce'
sJ,^jo'^^y^sJvl-2g{z-z,) ''
et, par suite,
c, c<, Co étant des constantes.
On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons
ce plan pour plan des xz\ on aura, dans ce cas, y = o, et l'équation différentielle de la courbe se réduira à
V/i -H ^'2 sjvl~ig{z-z,) d'où
en posant, pour abréger,
1g igc' 1g
Posons
(17) z ■= ces t ;
il viendra
dx a-\-b . , a-{- b .
—r- == sm;.^'= SI
at 1 1
\ — cos?
V H-cos^
^^ {a-\~ b) ^ixv' \tr^ ^[i — cos^],
d'où
(18) X — [^ — sin^] + A-,
k étant une constante.
Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire
