I- CL-^ b
z -\- br= (l — COS^),
X — A" = ( t — sin t )
et représentent une cycloïde dont la droite directrice est dirigée suivant l'axe des x.
Si les points Xq, y^, z^; ^,, y^, z^ sont supposés fixes, Sj^o, SjKoj S-^oj 0-^4 j SjKm 0^1 seront nuls, de sorte que H s'évavanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites
par l'intégration des équations M -- o, N = o se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés.
Supposons, au contraire, que, le point (^o^JKoj^o) étant fixe, la position du point (^^,y^, z^) ne soit pas donnée d'avance, mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface
On aura encore 8^0 = ^JKo == ^^o = o ; quant à ^x^, SjKi , ^Zi, ils seront liés par l'équation de condition
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quantité H, qui se réduit à
Bz^ + .x\ ( g^,, H- ^; s^i ) + 7i ( oyi + y\ ^^1 ) ^
devra s'annuler; on aura donc les équations de condition
fl^\ f^\ fÊÏ\
qui, jointes à ^ = 0 et aux équations qui expriment que la courbe passe par cCq, y^^ Zq et par x^^ y^, z^^ détermineront les constantes d'intégration et les coordonnées finales x^^
Les équations (19) expriment évidemment que la tangente à la courbe cherchée au point [x^^y^^ z^) est normale à la surface ^ = o.
Supposons encore que, (^o? J^oj ^0) étant fixe, (^i, jK< 5 Z\) soit assujetti à se trouver sur la courbe
Les variations 8xi , 8y^ , 8^, seront liées par les deux équa-
tions
et toutes les (bis que ces conditions seront remplies, l'expresr.ion devra s'annuler, ce qui donne l'équation de condition
dy dx), \dyji
qui, jointe aux équations <]> =r o, y =: o et à celles qui expriment que (^07^01 ^o) et (J7^,y^, z^) sont sur la courbe, déterminera encore toutes les inconnues du problème. Cette équation exprime que la courbe cherchée est normale à la courbe ^ =^ o, y =: o.
Le cas où (^o? JKo? ^o) serait lui-même variable se traiterait de la même manière.
366. Ligne de longueur minimum entre deux points. — Soient Xoj JKo? ^o et x^^ y^, Zi les deux extrémités de la ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie, les coordonnées x^ y, z exprimées en fonction d'un paramètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier l'expression de x^ y^ z en fonction de ^, sans altérer les valeurs initiale et finale ^o et t^ de ce paramètre. Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale
1=/ ds—\ sJx'-' + y'^-^z'-'
dty
oix les limites ^o> ^i restent fixes.
On a
où
Les équations M = o, N=:o, P = o donneront, par l'intégration,
const., ...,
— — : const.
Sjx'^^ y'-'-^-z'-'
d'où
^' = const.,
y — const., z'-'Ci
et enfin
(20) x--=zat-\- ^^
y = bt-\-^, zzzzct
const.,
équations d'une droite.
Si les points Xq^ ya, Zq; x^, yt, z^ sont donnés, la condition de passer par ces deux points achèvera de déterminer la droite; il restera encore deux constantes indéterminées dans les équations (20); mais cela doit être, car on peut changer dans ces équations t en mt-+-n^ m et n étant deux arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de représenter la même droite.
Supposons que, le point {xo,yo, Zq) étant fixe, (x^,y^, Zi) soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface
On aura, entre les variations ^x^, SjKi, 854, la relation
et, SOUS celte condition, l'expression
\/<'+yi'+-i
doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la droite et les coordonnées ^i, y^, ^i, les deux équations
dx^ djx dzi
lesquelles expriment que la droite est normale à la surface (J;. Si {Xi, jKi, Zi) était sur une courbe
^r:zO, X==0'
on trouverait de même Féquation de condition
j d^i dyi âzi
I /^X ix ^ =o.
qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée normalement.
367. Lignes géodésiques. — Supposons que la ligne de longueur minimum à mener entre les points {xq^ y^, Zq) et (^1,^1? ^0' ^^ 1^^^^ d'être située d'une manière quelconque dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface donnée
Nous avons à rendre minimum l'intégrale / dsy x, y, z
étant astreints à la condition ^=:o. Il faudra, pour cela, chercher le minimum de l'intégrale
X^) dt.
UJNlVJiJjRSXXir )
On aura
.K=.H.jr"[(M-.>,g)a..(N..|)a,,.-(p..g)a.]..
H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème précédent. Les écjuations différentielles à joindre à l'équation <!^ = o pour déterminer la courbe cherchée et l'inconnue auxiliaire X seront donc les suivantes :
dt y/^/2^^/2^^/2
dx
ày
Or V-? V- ' -T^ sont proportionnels aux cosinus direcôx ay az ^ ^
leurs de la normale à la surface ^; mais, d'autre part,
— , . . . sont respectivement proportionnels
"^ \Jx''^-\-y''^-^- z'^
aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe cherchée (t. I, n^ 483). Les équations (21) expriment donc cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa normale principale se confond avec la normale à la surface sur laquelle elle est tracée.
Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes géodésiques.
368. Il est généralement avantageux, dans l'étude des lignes géodésiques, de représenter la surface considérée non plus par une équation entre x^ jk, z, mais par un système de trois équations, donnant œ, y, z en fonction de deux paramètres u^v. On aura, dans ce cas, pour ds^ une expression de la forree
ds — v/M da'^-\- 2 N du dv^V dv'^ .
Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux
^gO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
équations de la surface une nouvelle relation donnant u en fonction de p.
Si l'on fait varier la fonction u sans changer les extrémités Uq^ Poî ^n ^i de cette ligne, on aura, pour la variation de l'arc, l'expression
~ dii^-^ 1 -~- du dv -\- ^- dv"- \la 4- 2 (M du -h N dv\ dlu ou au ou J
2 ds
Intégrant par parties le terme en d^ii et égalant à zéro ce qui restera sous l'intégrale, on obtiendra l'équation différentielle des lignes géodésiques sous la forme
, ^ dM.^ d^ . . ^P,, , ,Udu-\-^dv
( 22 ) -;-- du^ -i- 2 -r— du dv -h -^^ dv^ :::=-- 1 ds d , •
ou ou ou as
Cette équation du second ordre peut être remplacée par un système de deux équations simultanées du premier ordre entre u^ v et l'angle 9 formé par la tangente à la ligne géodésique en chacun de ses points avec la tangente à celle des lignes V = const. qui passe par ce même point.
A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé parles points A, B, G, dont les coordonnées sont respectivement w, V] u^ v^dv\ u-\-du^ v-\-dv\ on aura sensiblement
AGB=:6, ABC -u — to;
w désignant l'angle des deux lignes u ^l v qui se croisent au point A.
On aura, par suite, en appliquant les formules connues de la Trigonométrie,
ds'^ — M du"^ -\- P dv'^ 4- 2 v/MP du dv ces w,
d'où
N . v/MP — N2
ces CD r= —=z= , Sin 0) r=r ■ ;
v/MP \/MP
puis
ds __\/)c^d{>^ sino) sinô ^
d'où
et enfin, en projetant le triangle sur BG,
,— , /- , M du 4- N <i(^ (24) <^5cos6 = v/M rti^ -H V/P "^ cosw =z —
La division membre à membre des deux dernières formules
donnera
Mdu-{-^dv (20) cot6
V/MP — iN-2^(^
Il ne reste plus qu'à transformer l'équation (22). On aura
, , M du + N ûfç'
idsd 7 ■
ds
z=z 2 ds d\/Mcos^
-r— du + -^- dç =;, 2 i/M ds sin 6 d<î^
du dv /y/M
Remplaçons dscos^ et <:/5sinQ par leurs valeurs, substituons dans (22) et réduisons ; il viendra
/ cm ^ ^P, dU ,
\ i-r— du -! — — - dç :—- du
\ au ou o^
Les équations (25) et (26) sont les deux équations différentielles cherchées.
- 369. Lorsque les lignes u et (^ sont orthogonales, on a N = o, et les formules (23) à (26) prennent la forme plus
