Appliquons ces formules à l'ellipsoïde
en prenant pour lignes m et (^ le système de ses lignes de courbure.
Nous avons trouvé (t. I, n° 538) la valeur du carré ds"^ de l'élément de longueur dans l'espace rapporté à un système de coordonnées elliptiques X<, À2, X3. En chaque point de l'ellipsoïde considéré, on aura X, =0; les coordonnées de ces points ne dépendront donc plus que des deux paramètres >.2 et I3, que nous désignerons par u et v. On sait d'ailleurs (t. I, n° 540) que les courbes w = const., (^ = const. seront les lignes de courbure de l'ellipsoïde.
Posant donc 7^ = o, \2^=u, \ = v dans les valeurs de x^, y'^^ z^^ ds^y il viendra
-A)(Cu{u — ç)
ds^. ^ ^ ., . ^-^-^:x___ du-
^ dçK
4 {A-^v){B^i')){G-hi>)
On aura donc ici
et, par suite,
âP
du ~
dU
dv ~
Substituant ces valeurs dans l'équation (28), il viendra
M ^« + P rtV + 2 ( w — (^) v/MP ^/O — o
ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équations (27),
cos^6 dç + sin-0 du-h i{u — c^) sinOcosO <iO = o.
Cette équation s'intègre immédiatement et donne
(29) w sin^ 6 + (^ cos^ ô =zr c,
c désignant une constante.
L'équation (2g) peut s'écrire
{u — c) sin-6 -h ((^ — c) cos-Ô z=i o
ou, en remplaçant sinO et cosO par leurs valeurs,
{u--c)P dv"- + ( (^ — c)M du"- = o.
Substituant enfin, pour M et P, leurs valeurs et séparant les variables, on aura l'équation
dv
\J /A , ..N.r> , ■■^ .0 , ..x/.. TT ^^".
(A4-«)(B + w) {0-\-u){u—c) dont l'intégration se ramène aux quadratures.
L'arc de la courbe s'obtient également par des quadratures. On a, en effet,
u{u — vY '^"^
(A H- iO (B -r- w) (G + iO ( " — c)
usJudiL vsjvdv
371 . Les lignes géodésiques de l'ellipsoïde jouissent de propriétés remarquables, qu'on peut déduire de Téqualion (29).
Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d'une ligne de courbure u = const. on a
6=11-7 d'où i^ sin-0 -1- p 008^6 =:?< = const.
Le long d'une ligne du second système v -^ const., on aura 6 = 0 et i^ sin^6 -t- (^cos^6 1= c^m const.
Les lignes de courbure satisfont donc à l'équation (29) des lignes géodésiques.
Cherchons les points où la ligne géodésique
u siii^ 0 -1- (^ ces- 6 m c
est tangente à une ligne de courbure.
On aura, au point de contact,
errzo ou Ozzii-
et, par suite,
W =: C ou Vzrz: C.
Chaque ligne géodésique est donc tangente à deux lignes de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure
u^^c correspond la même valeur c de la constante d'intégration.
Il en est de même pour le système des lignes géodésiques qui passent par les ombilics.
On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n°525),
La condition r^ r= o donne
(B-t-t0(BM-^)"O;
donc u o\x V est égal à — B. Soit, par exemple, w = — B; on aura
donc V sera aussi égal à — B.
Pour une ligne géodésique qui passe par un ombilic, on aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (2g),
— Br:=C,
ce qui détermine la valeur de la constante c.
Considérons une ligne de courbure quelconque m= const. Soit (l^, v) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, U, elles auront pour équation différentielle
u cos^O -H V sin-6 ■=:. — B,
MC0S26'+ (^sin^O'rrr— B.
En retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il
viendra
0 = «^(cos^O — cos^G') 4- (^(sin^O — sin^e')
= (r— w) (sin^Ô — sin^ô').
Donc sin^ô = sin^G', et les lignes L, U auront pour bissectrices les lignes de courbure du point m, ^>.
Soit [u, v^) un point de la ligne de courbure considérée
situé à une distance infiniment petite ds du point (z/, v) primitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelles lignes géodésiques Lj, L'^ .
Projetons Li et Télénient ds sur L ; on aura évidemment
L = proj . Li -I- proj . ds.
Or chacun des éléments de L,, ne faisant qu'un angle infiniment petit avec sa projection, lui est égal en négligeant le produit de sa longueur par une quantité du second ordre ; on aura donc, au second ordre près,
proj.Li^irLi.
D'ailleurs
proj. ds z=z ds sin^ ]
donc
