L:=Li4- ds sinO

On a de même

L'zr-L; + t/5sinO'.

Mais on a

sinO :==; zh sinô',

égalité où l'on doit évidemment prendre le signe -h ou le gjgne — suivant que les ombilics O et O' sont situés de côtés différents de la ligne u ou du même côté. Dans le premier cas on aura

JL — JL - — JLj — J-jj ,

et, dans le second,

lh-l'=Li-+-l;.

Ces égalités étant démontrées, au second ordre près, lorsque le point [u, v^) est infiniment voisin du point [u, (^), on en conclut par le raisonnement connu (t. I, n^ 462) qu'elles sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position du point (a, ^4) sur la ligne de courbure u.

On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport aux lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celles des foyers des sections coniques.

372. Problème des isopérimètres. — Proposons-nous de déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2 l ayant leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum.

Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le milieu de cette droite : soit ia la longueur de celle-ci. Nous aurons à rendre maximum l'intégrale

/ y dx^

sachant que l'intégrale

pli /^a

/ ds r-zz / v/l-i-y2 ^^

a pour valeur 2 /.

D'après la méthode générale, nous aurons à poser

{y~\~l\/i-\-f')dx -a

cl ly

^y dx.

L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc

dx y/i ^yli

ly'

sJ\^—{x~cY

y - c'=:~ sJW-i^x-^Y,

équation d'un cercle de rayon \.

Il reste à déterminer les constantes c, c^ \. Pour y = o, on aura ^ = ±: a; donc c = o, c^^-— \2 — ^! J. — Cours, m. 32

figS TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

Il ne reste plus qu'à faire en sorte que la longueur de l'arc soit 2 /.

Or, en désignant par a {Jig. 1 1) Fangle que le rayon GA

du cercle cherclié fait avec l'axe OY, on aura l^zXo!., a=:Xsina.

Éliminant a, on aura, pour déterminer )., l'équation transcendante

a=zK sin -•

L'angle a étant d'ailleurs compris entre o et tt, il faudra prendre pour 'k celle des racines de cette équation qui est

En supposante infiniment petit, le problème se transforme en celui-ci :

Déterminer parmi les courbes fermées de périmètre 2I celle qui enferme une aire maximum.

Dans ce cas, l'équation en \ deviendra

sin Y =0

et aura pour racine 1 = - • La solution du problème sera donc un cercle ayant le périmètre donné.

CALCUL DKS VARIATIONS. • 499

IL — Variation seconde.