L'étude des variations de l'intégrale

où (p est une fonction de x^ des variables dépendantes y^, ^2, • • • et de leurs dérivées successives, ces variables pouvant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équations différentielles

se ramène immédiatement au cas où cp, ^^^ ... ne contiennent, avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées premières.

Supposons, en effet;, que jKo par exemple, figure dans ces expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n. Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les dérivées j^'^ , ...,y"~^, pourvu qu'on joigne au système des équations ^^

. . celles-ci :

^yy - y'

dx -y''

dx

y'I étant d'ailleurs la dérivée première de y^~\ on voit que la fonction cp et les équations de condition ne contiendront plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières. Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues y^^ ...^y„i) que ces fonctions, leurs dérivées premières et la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale

cp dx

et dans les équations de condition

Désignons par p le nombre de ces dernières équations. Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x^^ Xk de l'intégrale et les valeurs correspondantes des fonctions^ soient des quantités fixes données. Gela posé, cherchons à rendre l'intécrrale maximum ou minimum.

374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, comme on l'a vu plus haut, en annulant la variation première de l'intégrale

(cp 4-Xi^l-h. . .-HX^4^p)<i^=::i / Vdx,

ce qui fournit les équations différentielles suivantes

d¥ d dV

àji dx dyt

que nous combinerons avec les équations de condition (2) -^.=z^i—o (/ = i, 2, ...,/?).

L'intégration de ce système donnera en général les inconnues jK et )^ en fonction de ^ et de 2/72 constantes arbitraires.

En effet, remplaçons les équations ^i=:^o par leurs dérivées -p- = o. Le nouveau système obtenu dx -^

dyi dx dy'i ' dx

contient les dérivées de j^,, ...^y^ jusqu'au second ordre, celles de X,, ..., \p jusqu'au premier ordre. Il sera donc d'ordre im-\- p et fournira les inconnues y et X en fonction de x et de im-\-p constantes arbitraires. Ces valeurs, substituées dans les expressions ^/, les réduiront à des constantes ( puisqu'elles annulent identiquement -^ \ • En écrivant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa-

CALCUL DES VARIATIONS. 5oi

lions de condition qui déterminent ;? constantes d'intégration en fonction des autres.

Les im constantes qui restent seront déterminées à leur tour par la condition que y^^ . . ., ym prennent pour chacune des deux limites Xq et x^ les valeurs qui leur sont assignées.

Le problème d'annuler la variation première de l'intégrale est donc en général possible et déterminé.

On doit toutefois remarquer que l'ordre du système (3), et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si Ton pouvait éliminer les dérivées y\^ . . ., y"„^^ '}^^ , . . ., X^ entre les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le

jacobien J des fonctions -^—^ ^i par rapport aux quantités jk^

et X. Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en général impossible d'annuler la variation première de l'intégrale, car les constantes d'intégration seraient en moindre nombre que les équations aux limites auxquelles elles doivent satisfaire.