Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est
aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un système canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui du n* 357. )
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les quantités
dF
Les équations
permettront d'exprimer les quantités y\ \ en fonction des variables jK, p-
Posons, d'autre part.
On aura
dH =y^^ [- l^rfr, + (p,- g) dy[ +y,dp, - ^,d\ij.
Mais les termes en dj''-^ d\i disparaissent en vertu des équations (4)- On aura donc, en supposant qu'on exprime H au moyen des variables jk et/>,
D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire
On aura donc, pour déterminer les variables y, p, les équations canoniques
... ■ , ,m , dB.
376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait (260) que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme
(6) dvi^^'' 'd^i'^^' {1^1,2, ..., m),
V étant une fonction des variables x, yt et de m constantes d'intégration a, , . . . , aL,n et les quantités [^i , . . . , ^m étant les autres constantes d'intégration.
La résolution des équations précédentes donnera les valeurs des y, p en fonction de x et des constantes a, [5. Les équations (4) donneront ensuite les quantités y' ^ \] enfin les conditions aux limites détermineront les valeurs des constantes a, j3.
377. Mais, pour être assuré de l'existence effective d'un maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier la variation seconde S^L Si celle-ci ne peut s'annuler pour aucun système de valeurs admissible des variations 8/, elle con-
CALCUL DES VARIATIONS. 5o3
servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou maximum, suivant qu'elle sera positive ou négative. Si, au contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maximum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe avec les variations Sy; il ne pourrait y avoir incertitude que dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps que la variation seconde.
Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à rechercher si 8^1 est ou non susceptible de s'annuler.
