Posons, pour abréger
àytàyu âftâf, '"' Oy-df
Les quantités a/A-, b/k, c/^, d^^ eu seront des fonctions connues de x; nous les supposerons continues, ainsi que leurs dérivées partielles, entre Xq et Xi ; cette hypothèse est évidemment nécessaire pour qu'on puisse appliquer la série de Taylor au développement des accroissements des fonctions F, ^i.
Posons encore, pour simplifier l'écriture,
ces quantités seront assujetties aux relations
(7) 0=:^r-\(dilZi-r■CilZ'i) {1 = 1, ...,p).
On aura, d'autre part,
82 F \ \ [■ ^ .^ ^ . ;3^ | 2 bikZi Z\ + Ciu z\ z\ ]
et
2 ]Xi l^i ) dx,
i~ r *82F^^~ r Ys^F+y :
Oo4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
les multiplicateurs [jl/ étant des fonctions quelconques de x, finies entre Xq et X\ .
L'expression
y 2 ]Xi l^i
étant homogène et du second degré par rapport aux quantités
5, z' ^ \K, on aura
Substituant cette valeur dans l'expression de S-I et remarquant que les équations de condition (7) ne sont autres que les suivantes
il viendra
Intégrant par parties les seconds termes et remarquant que Zi s'annule aux deux limites Xq et x^, il viendra
On pourra donc annuler S^I si l'on peut déterminer les quantités ^, |a, de manière à satisfaire aux équations
. ^ ÔQ d dQ
ozi dx ÔZi
ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zt
des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre ^'o et ^4, mais qui s'annulent aux. deux limites.
379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'équations différentielles entre les variables z, p. tout à fait analogue au système (i), (2). Il sera également d'ordre 2m, pourvu que le jacobien J< des expressions
do^ do.
par rapport aux quantités z\^ [a/ ne soit pas identiquement nul. Or, d'après l'expression de 0, on voit que les éléments de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où l'on a substitué, pour les quantités y^ leurs valeurs en fonction de X. Nous admettrons que, même après cette substitution, le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en particulier, il n'est pas nul pour x =^ X\.
Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités
Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quantités z' et [JL en fonction linéaire des quantités z et a. Ces valeurs, substituées dans l'expression
Yi,r^r^SuiZ\~Q,
la transformeront en une fonction homogène et du second degré des quantités z, u] et l'on aura, pour déterminer ces quantités, les équations canoniques *
dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par rapport aux inconnues z, u.
5o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
da OR
~2,. i^ii^i -^enz'i],
- Ui
= > [à/d zu -\- Cui z,^ 4- > en [x/ — m,
Luk Lai
d dQ dx dz'i
~ /^ {aïkZk-^ hikZj, ■+- du [x/] — u'i,
auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aux équations
dV àV
dont l'intégration nous a fourni les valeurs des quantités y^ \ en fonction de x et des constantes a^ , . . . , a;^^ ; ^i , . . . , ^j^- En effet, substituons ces valeurs dans ces dernières équations ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient les constantes a et p. On pourra donc les différentier par rapport à l'une quelconque c de ces constantes. Effectuant cette différentiation et posant
àyt , ày'i ^, dpi dli __
1^ - ^^■' 'de -^ "'■' ^ " ""'' ^ - ^''
on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4)-
Prenant successivement pour c chacune des 2 m constantes a, p, nous aurons donc 2. m solutions particulières de ces équations. On en déduit, en désignant par A/i elB/^ des constantes arbitraires, la solution plus générale
(.5) ,,^y (A,Êp.^B,^
(18) fX,^^^^
A àpi , dpi
dh d\r
^'d^^-^^'Wl
CALCUL DES VARIATIONS. Soj
Les équations (ii), qui se déduisent de la combinaison des équations (12) à (i4), admettront donc comme solution les valeurs de zt, ut données par les formules (i5) et (16).
