X:=:a — l -^ a.\r=za — I — /l-h<2Tri

[JL rrr P — I 4- p^ =z è — I — m -\- br^.

Ces équations simultanées détermineront aisément ?, 'jq, A, ^, si le déterminant cf.b — [Ba n'est pas nul. Si ce déterminant était nul, on aurait

a^=^ko(,, b=zk^j et l'équation se réduisant à

(i -h kx"^y^) {oLX dy -i- p/ dx) = o serait intégrable sans difficulté.

24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations différentielles de la forme

où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et de Y.

Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les variables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant

a^4-P/4-Y^ ' a^ + Pj + Y^ *

On en déduira sans peine pour dX, dY, Y <:/X — X dY des expressions de la forme

a{y dz — zdy) + b{zdx — x dz) -\- c{œ dy — y dx)

{ax^^y-^^zf

Ces valeurs, substituées dans l'équation proposée, donneront une transformée de la forme

(7) h{ydz — z dy) -\-M {z dx ~ X dz) -i-^ {x dy — y dx) — o,

L, M, N étant des fonctions homogènes en ^, j-, z^ et d'un même degré, que nous désignerons par m. Cette équation peut encore s'écrire ainsi

Pdx-hQdy^-K dz

en posant

P =Mz-Ny,

Q = Nx~Lz,

R^Ly —Mx;

d'où

(9) P^-|-Qj-|-R^=rO.

25. Pour chaque point x, y, z du plan, la direction de la tangente à la courbe qui représente géométriquement l'intégrale sera donnée sans ambiguïté par l'équation (8). H y a toutefois exception pour les points où l'on a simultanément

pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite, n'établit plus aucune relation entre dx, dy, dz.

Ces points singuliers sont évidemment les seuls par lesquels puissent passer plusieurs branches de courbes distinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou tout point d'intersection de deux courbes intégrales est nécessairement un point singulier.

Cherchons le nombre ^ de ces points singuliers. Nous re-

marquerons, à cet effet, que les points communs à P= o, Q=: o, en nombre {m -f- 1)^, satisfont en vertu de (9) à la relation Rz = o. On aura donc

Tj étant le nombre des points communs à P = o, Q =rr :>,

D'autre part, les m~\-i points communs à P = o, z z^ o satisfont à la relation Q^ = o. D'ailleurs, un seul d'entre eux, savoir ^ = o, jk = o, satisfait à jk = o. Les m autres donneront

donc

7] r=r m et ^■=- ni^ + m -\-i.

26. Cherchons maintenant la condition pour qu'une courbe algébrique

soit une intégrale de l'équation différentielle. On trouvera, en différentiant l'équation ci-dessus,

df . df . df .

-— dx -\- i- dy -\- ~dz=zo.

dx dy -^ dz

On a d'autre part, pour tout point de la courbe,

àf df df ,

dx '^ dy dz ^''

p désignant le degré de la courbe /= o.

Des deux équations précédentes on déduit celle-ci