ÎL

dx dy dz

y dz — zdy z dx — x dz x dy — y dx

dont la combinaison avec l'équation différentielle (7) donnera

dx dy dz

Le premier membre de cette équation est un polynôme entier. Puisqu'il s'annule pour tout système de valeurs de x^ y, z, tel que l'on ait/=o, il sera divisible par/; on aura donc identiquement

OJ^ ôy oz ^

K étant un polynôme entier, de degré évidemment égal à m — I .

Telle est donc l'équation de condition cherchée, laquelle peut encore s'écrire ainsi

27. Pour tout point singulier de l'équation différentielle, on aura

P = 0, Qzzro, R==o,

d'où

Soit \ la valeur commune de ces rapports. On aura

L = X^, M=:X/, N=zX,s.

Substituant ces valeurs dans (lo), il viendra

Les points singuliers seront donc de deux sortes : i" Ceux qui sont sur la courbe /= o; 2*^ Ceux qui ne sont pas sur cette courbe, et pour lesquels on aura nécessairement

p\ — Kn= o.

Dans le cas où la courbe /n'a pas de point multiple, il est aisé de déterminer le nombre des points singuliers de la pre-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3l

mière sorte. En effet, ~y ^j -r^ ne pouvant s'annuler simultanément, l'équation (lo) donnera, d'après un théorème d'Algèbre connu (Darboux, Bulletin des Sciences mathématiques, 1^ série, t. II),

P àf

P dz

p Occ

et, par suite,

R =pWf- (U.^ 4- V/ + W:;) ^,

U, V, W étant des polynômes de degré évidemment égal à m — p H- i .

Ces équations montrent immédiatement que les points singuliers cherchés sont les intersections de la courbe /=: o avec la courbe de degré m — /> -h 2

Leur nombre sera donc

28. Gela posé, nous allons établir que, si l'on connaît un nombre suffisant d'intégrales particulières algébriques, on pourra en déduire l'intégrale générale de l'équation proposée.

Soient f=Ojfi = o, ... ces intégrales particulières; /?,

yo,, ... leurs degrés respectifs. En posant, pour abréger,