Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées par
. 1, dyt dfi dli . r. ^ j 1
tielles -^; — ? -^V ? •••? -ttt-^ qui lio^urent dans les expressions
précédentes, restent continues entre Xq et Xi ; 2° que les seconds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse les constantes A, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles
Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme conséquence que les 2m solutions particulières obtenues pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La solution générale des équations (11) sera donc donnée par les formules (i5) et (16), et celle des équations (12), (i3), (i4) par les formules (i5) à (18).
Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le déterminant
! àfi dfi dy, dy,
dy-ni
dym
dym
àpi
dpx
dy-m
dp.
àpi
dpm
dp,n
dpm
dpm
ne pourra être identiquement nul.
Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un produit de deux autres déterminants. En effet, les équations
intégrales
(où V ne contient ni les p ni les p), différentiées par rap-
5o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
port aux constantes a^t et [5;;, donnent dpi V ^-V dyn
dit
hàfidfh â^k
Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m dernières lignes du déterminant les m premières, multipliées par des facteurs convenables, il viendra
Dzz
d'Y en posant
dym
dym d:L,
D.rr:
i d}\ I dh
dym
dh
dy\ dym
dvi d'^
d'Y dym dcci
dvi doL,
d^Y dym d:^
A.ucun des deux déterminants Di , D2 ne peut donc être identiquement nul.
382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que 8*1 ne puisse s'annuler.
On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler si l'on peut déterminer les rapports des constantes A;^, B^, de telle sorte que les valeurs des zi fournies par les équations (i 5)
CALCUL DKS VARIATIONS. SoQ
s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Çq, ^i de la variable x^ comprises entre Xq et x^.
En effet, posons S/^ = £^/ entre ?o et 5,, et S/^ ^^ o dans le reste de l'intervalle XqX^.
Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement nulles dans tout l'intervalle entre Xq et x^ ; elles satisfont aux équations de condition (12); enfin entre Eq et ^4, seule partie de l'intervalle où elles ne soient pas nulles, elles satisfont aux équations (i3) et (i4)i équivalentes aux équations (9); elles annulent donc tous les éléments de l'intégrale 8^1.
Pour que les rapports des constantes A;^, B^ puissent être déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il suffît que le déterminant
M^cli)
(dyjn\
ày>n\
àfA
dy,.
dcc.
àrni\ à?i A.
an
dv
d.Vm\
fdy,n\
soit égal à zéro.
Donc, pour que 8^1 ne puisse s'annuler, il faut tout d'abord qu'on ait
A(^o,Çi)?o
de quelque manière qu'on choisisse ?o et J^ entre Xq et X|. Posant en particulier ?o==«^o? on devra avoir
(19) à{xo,x)lo
pour toute valeur de ^ >> X(, et ^ ^^ .
